数学论文-关于幂零矩阵的几个注记

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1、关于幂零矩阵的几个注记（孝感学院数学与统计学院湖北孝感432000）摘要：给出了幂零矩阵的一个新的性质，证明了矩阵为幂零的一个等价条件，修正与改进了近期幂零矩阵的一些结果．关键词：幂零矩阵；向量；特征值；矩阵的迹；伴随还原阵OnseveralofnilpotentmatrixYangJiao(SchoolofMathematicsandStatisticsXiaoganUniversityXiaoganHubei432000)Abstract:presentsanewnilpotentmatrices,provedanilpotentmatrixofequivalenceco

2、nditions,modificationsandimprovementsinsomeresultsofnilpotentmatrix.Keywords:nilpotentmatrix；vector；eigenvalue；thematrixtrace；withreduction1引言：问题的提出在2009年全国硕士研究生入学考试试卷（数学一、二、三）中有这样一道解答题：题目[1]设，（Ⅰ）求满足，的所有向量；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：线性无关．我们先来看看供题者提供的参考答案：解　（Ⅰ）解方程12，，故有一个自由变量.令，由解得，，求特解，令，得.故，其中为任意常数.

3、解方程，，，故有两个自由变量.令，，由得，令，，由得.求特解，故,其中,为任意常数.（Ⅱ）由于行列式，故向量组线性无关．这道试题将矩阵的计算、线性方程组的求解以及向量组线性无关的证明融为一体，立意于平实处见新颖，背景公平，知能并举，考查了相应的知识点．解答完本题，笔者感觉到可以使两个线性方程组都有解，而且能使（Ⅱ）中的任何三个向量都线性无关，对于矩阵及向量12的构造，是否有一些特别的要求？或者带有某种巧合？在对试题构思精密赞叹之余，我们很想知道:命题人是以什么为素材研制本题的？即试题的设计是以哪些知识材料为背景的？我们希望对该试题的的命题思路做些分析，以回答以上问题．对试题中

4、的矩阵，通过计算可得，但，满足该性质的矩阵称之为幂零矩阵．定义1[2]设，若存在正整数，使，，则称是幂零指数为的幂零矩阵，也称是幂零矩阵．本文将把上述试题中蕴涵的结论进行推广，给出一个一般性命题，该命题可以补充为幂零矩阵的一个新性质．除此之外，本文还将对《大学数学》期刊2006年第5期“幂等和幂零阵的伴随阵的反问题”一文中，关于幂零矩阵提出的一个的论断予以否定；对《数学研究与评论》期刊中2000年第2期“SeveralPropertiesofIdempotentandNilpotentMatrices”一文中，关于幂零矩阵的一个主要结果给出一个简单的证明方法，并且同时推广这个

5、结论到任何的无限域；最后还将给出矩阵为幂零的一个等价条件，借助该结论简化了一些高等代数研究生试题的证明．更重要的是，它可以帮助我们发现，在这些试题中关于“矩阵可对角化”的限制是可以取消的．本文用表示数域，表示上的阶矩阵的集合，表示矩阵的秩，表示单位矩阵，表示的伴随矩阵．2几个引理关于幂零矩阵的一些常见性质，在许多文献中都有论述，本文仅罗列如下两个基本性质，以备后文中引用，对于它们的证明及其它性质，本文不再赘述．引理1[2]　设，是幂零矩阵的特征值全为零．引理2[2]　设，是幂零矩阵的最小多项式为．为了后面结论的证明，我们再建立几个引理：12引理3设阶矩阵满足，则对使的维列向量

6、，向量组线性无关．证明由引理１知，则存在维列向量，使，下面证明向量组线性无关：设，对该等式两边以左乘之，得，故，再对等式以左乘之，得，故，同理可得，因此向量组线性无关．引理4设是阶矩阵，并且满足，，则，．证明因为，，所以的最小多项式是，故的不变因子为，，故的若当标准型为因此存在阶可逆矩阵，使得，这里为阶单位矩阵，经过计算得由此得，．引理5设向量组线性无关，向量组如下定义：12则向量组也线性无关．证明　把向量等式写成矩阵形式上式右端的上三角矩阵可逆，由线性无关，即得也线性无关．引理6[2]如果、都是一个矩阵，则．引理7[2]如果是矩阵()，那么引理8如果是一个矩阵，时，则（1）

7、；（2）．证明　（1）因为，所以存在可逆矩阵使得，即，12若记，，则．（2）由（1）所证，记，则　．引理9[2]对任何阶矩阵，有．3　几个注记3.1幂零矩阵的一个命题在本节，我们将把引言部分题目中蕴涵的结论进行推广，给出一个一般性命题：定理1设是阶矩阵，是维非零列向量，如果，，并且线性方程组有解，则（Ⅰ）对任一，线性方程组均有解；（Ⅱ）记的任一解为，，那么线性无关．证明（Ⅰ）根据题设，线性方程组有解，设为它的一个解，即．则对，由，知是线性方程组的一个解；12（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的，由引理3得线性无关．首先