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《幂等矩阵的概念及性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第!"卷#第$期雁#北#师#范#学#院#学#报589:!",8:$%&&’年!&月()*+,-.)/0-,123,)+4-.*,352+6370);<:%&&’文章编号：!&&"=!"’"（%&&’）&$=&&>?=&’幂等矩阵的概念及性质肖润梅（雁北师范学院数学系，山西大同#&’@&&&）摘#要：介绍了幂等矩阵、对合矩阵的概念，讨论了方阵-为幂等矩阵的两个充要条件，给出了幂等矩阵的一些重要性质:关键词：幂等矩阵；秩；维数中图分类号：)!$!:%!###文献标识码：-##幂等矩阵具有其广泛的应用背景，但有关此方!!"!!"⋯"!!"&!%)面问题的讨论尚不多见，本文就幂等矩阵的性质给即
2、方程组!+"&有)组解：!，!，⋯!，设秩（!）"!%)予系统的归纳、分析和证明:,，则!，!，⋯，!可用)-,个向量线性表出，即秩!%)!#概念与引理（$）’)-,，所以DEFG（!）(DEFG（$）’,(（)-,）")#%##定义!#若方阵!满足!"!时，称!为幂等引理’#方阵!、$的秩满足如下关系：矩阵#DEFG（!($）’DEFG（!）(DEFG（$）%定义%#若方阵$满足$"%时，称$为对合证明：设"，"，⋯，"与!，!，⋯，!分别是!、!%)!%)矩阵#$的列向量组，且DEFG（!）",，DEFG（$）".，"，"，!%引理!#设&、&是线性空间&的子空间，令’!%⋯，"与
3、!，!，⋯，!分别是"，"，⋯，"与!，!，,!%.!%)!%"&(&，则’"&C&的充要条件为!%!%⋯，!的极大线性无关组#则（!($）的列向量组可)ABC（’）"ABC（&）(ABC（&）!%用"，"，⋯，"与!，!，⋯，!线性表出，而!%,!%.证明：因为维数公式为DEFG（"，"，⋯，"，!，!，⋯，!）’!%,!%.ABC（’）(ABC（&D&）"ABC（&）(!%!#DEFG（"，"，⋯，"）(DEFG（!，!，⋯，!）!%,!%.ABC（&）%所以由已知可得DEFG（!($）’DEFG（!）(DEFG（$）#ABC（&!D&%）"&，即&!D&%"｛&｝引理?#设!是)
4、维线性空间&的线性变换，则而&(&是直和的充要条件是&D&"｛&｝，所以!%!%!的秩(!的零度")#得证#!证明：设!的零度为,，在核!（&）中取一组基引理%#如果!、$是)*)方阵且满足!$"&，#，#，⋯，#，并把它扩充为&的一组基#，#，⋯，!%,!%那么DEFG（!）(DEFG（$）’)##，⋯，#，!&是由基象组,)证明：设$的列向量组为!，!，⋯!，因为!%)!#，!#，⋯，!#，⋯，!#!%,)!$"!（!，!，⋯!）"!%)生成的，但是!#"&（/"!，%，⋯,），所以!&由/（!!，!!，⋯!!）"&!%)所以收稿日期：%&&’0&"0!$作者简介：肖润梅（!">’
5、—），女，山西怀仁人，讲师#研究向：高等学教学与研究#第$期%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%肖润梅：幂等矩阵的概念及性质·/$·!!，!!，⋯!!生成的%现在米证明它就是!&的’()*（!）#’()*（!*-）($%"#!"#"$一组基%为此只需证明它们线性无关%设证明：（充分性）考虑齐线性方程组"$（-*!）,(#，!,(#，（!*!）,(#")!!(#’’’("#!设&，&分别是!,(#与（-*!）,(#的解#!成立，则向量构成了线性空间，因为两个方程组的公共解为$!(")’!’)(#｛#｝，即&#D&!(#%’("#!$令&(&##&!，则&#，&!的和为直和%由引理!这
6、说明向量")属于!（!#）%因此可被核的基线!’’’("#!知性表示：+,-（&）(+,-（&）#+,-（&）#!$"又因为（-*!）,(#与!,(#的解空间即&")!(")!#’’’’’("#!’(!与&的维数为$*’()*（-*!）与$*’()*（!），从从!，!，⋯，!的线性无关性推出)(#（’(!，"，!!"$’而⋯，$），因此+,-（&）($*’()*（-*!）#$*’()*（!）($，!!，!!，⋯，!!"#!"#"$因此&是整个$维数组空间%线性无关，!的秩为$*"，于是!的秩#!的零度(任取$*&，由于&可分解为&与&的直和，#!$%设$(%#&，其中%*&，&*&，则
7、!#引理$%设线性空间&中的线性变换!在两组""（!*!）%(（!*!）&(#基从而!!，!"，⋯，!$%%%（!）"（!*!）$(##，#，⋯，#%%%（"）!"$"所以$是（!*!）,(#的解%下的矩阵分别为!与+，从基（!）到基（"）的过渡矩又由$的任意性知&是（!"*!）,(#的解空*!阵为,，则有+(,!,%间，故证明：已知"’()*（!*!）(#（!!，!!，⋯，!!）(（!，!，⋯，!）!!"$!"$从而有!"*!(#，即!为幂等
