浅谈 空间上的幂等算子 毕业论文

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1、浅谈空间上的幂等算子摘要幂等算子在算子理论中是具有很多特殊性的一类算子，近年来，许多学者对其进行了研究，并取得一些较好的成果。本文以空间中的幂等算子为主要研究对象。首先，讨论了空间中幂等算子的线性组合的幂等性，并将空间中幂等算子一些结论推广到空间中的幂等算子；其次，在前人所作工作的基础上，进一步讨论了空间中幂等算子的一些基本性质，给出空间中幂等算子的一些等价条件；最后，讨论了空间中幂等算子的谱；并以例题分析的形式说明了幂等算子的应用。本文的讨论虽不够深入，但对泛函分析的进一步学习有积极意义。关键词：幂等元；幂等算子；空间；算子谱；AbstractI

2、dempotentoperatorisaclassoperatorwithmanyspecialinoperatortheory,inrecentyears,manyscholarshavestudiedandachievedsomegoodresults.Inthispaper,themainobjectofstudyisidempotentoperatorofspace.Firstofall,Discussedtheidempotentoflinearcombinationsoftheidempotentoperatorinspace,ande

3、xtendedsomeconclusionsofidempotentoperatorinspacetospace;Secondly,furtherdiscussedsomebasicpropertiesofidempotentoperatorinspaceonthebasisofpreviouswork,andGivensomeequivalentconditions;Finally,wediscussthepowerspectrumofsuchoperators;andtalkabouttheapplicationsofidempotentope

4、ratorintheformofexamples.Althoughthisdiscussionisnotdeepenough,ithaspositivesignificanceforfurtherstudyoffunctionalanalysis.Keywords:idempotent;idempotentoperator;space;spectrumofoperator;目录摘要IABSTRACTII引言1一﹑基本概念1二、空间上的幂等算子线性组合的幂等性4三、空间上的幂等算子10（一）幂等算子的性质及定理10（二）幂等算子的谱16四、幂等算子的

5、等价命题17五、幂等算子的应用23参考文献26谢辞27浅谈空间上的幂等算子引言幂等元是代数中的一个重要概念，也是研究代数结构的重要工具，如在研究线性空间、拓扑空间等代数结构中常常见到幂等元的应用，幂等算子作为特殊的幂等元在算子理论中是最基本的一类算子。借助于幂等算子有些问题会得到简化，算子谱投影、谱分解等一系列理论都建立在幂等算子的基础上。近年来，研究幂等算子问题是一个比较活跃的领域并得到了许多结果，本文仅将空间中的幂等算子一些结论推广到空间，并在前人的基础上讨论了空间中幂等算子的一些基本性质及定理，且经过推理进一步得到一个算子成为幂等算子的充要条

6、件及应用。一﹑基本概念定义1.设是阶矩阵，若,则称为幂等矩阵；一般地，把满足（）的矩阵叫做次幂等矩阵。定义2.设是实（或复）的线性空间，如果对每个向量,有一个确定的实数，记为与之对应，并且满足：1），且等价于；2）其中为任意实（复）数；3），，，则称为向量的范数，称按范数成为赋范线性空间。完备的赋范线性空间称为空间。定义3.设和是两个同为实（或复）的线性空间，是的线性子空间，为到中的映射，如果对任何，，及数，成立，，则称为到中的线性算子。定义4.设和是两个赋范线性空间，是的线性子空间到中的线性算子，如果存在常数，使对所有，有，则称是到中的有界线性算

7、子，当=时，称为到中的有界线性算子，简称为有界算子。定义5.设是空间上的有界线性算子。如果=,则称是（X，）上的幂等算子。一般地，把满足（）的算子叫做次幂等算子。定义6.设是复线性空间，如果对中任何两个向量,,有一复数与之对应，并且满足下列条件：（1），且等价于，；（2），为复数；（3），则称为与的内积，称为内积空间。若按范数完备，则称为空间。定义7.设是空间到空间中的有界线性算子，存在唯一的，使对任何及，成立则称算子为的伴随算子。定义8.设是空间到空间中的有界线性算子，若，则称算子为的自伴算子。定义9.设是空间到空间中的自伴算子，如果，即，则称是

8、正算子。定义10.设是空间，是的闭子空间，可以唯一地表示成称是在子空间上的正交投影，简称投影。利用投影，可以定义到上的映射