浅谈空间上的幂等算子毕业论文

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1、浅谈加MC/2空间上的幕等算子摘要幕等算子在算子理论中是具有很多特殊性的一类算子，近年来，许多学者对其进行了研究，并取得一些较好的成果。本文以Banach空间中的幕等算子为主要研究对象。首先，讨论了Hilb仍空间中幕等算子的线性组合的幕等性，并将Hilbert空间屮幕等算子一些结论推广到Banach空间屮的幕等算子；其次，在前人所作工作的基础上，进一步讨论了Banach空间中幕等算子的一些基本性质，给lUBanach空间中幕等算子的一些等价条件；最后，讨论了Bauch空间中幕等算了的谱；并以例题分析的形式说明了幕等算子的应用。本文的讨论虽不够深入，

2、但对泛函分析的进一步学习有积极意义。关键词：幕等元；幕等算子；Banach空间；算子谱;AbstractIdempotentoperatorisaclassoperatorwithmanyspecialinoperatortheory,inrecentyears,manyscholarshavestudiedandachievedsomegoodresults.Inthispaper,themainobjectofstudyisidempotentoperatorofBanachspace.Firstofall,Discussedtheidempo

3、tentoflinearcombinationsoftheidempotentoperatorinHilbertspace,andextendedsomeconclusionsofidempotentoperatorinHilbertspacetoBanachspace;Secondly,furtherdiscussedsomebasicpropertiesofidempotentoperatorinBanachspaceonthebasisofpreviouswork,andGivensomeequivalentconditions;Finall

4、y,wediscussthepowerspectrumofsuchoperators;andtalkabouttheapplicationsofidempotentoperatorintheformofexamples.Althoughthisdiscussionisnotdeepenough,ithaspositivesignificanceforfurtherstudyoffunctionalanalysis.Keywords:idempotent;idempotentoperator;Banachspace;spectrumofoperato

5、r;目录摘要TABSTRACTII引言1一、基本概念1二、Hilbert空间上的幕等算子线性组合的幕等性4三、Banach空间上的幕等算了10(-)幕等算子的性质及定理10(二)幕等算子的谱16四、幕等算子的等价命题17五、幕等算子的应用23参考文献26谢辞27引言幕等元是代数中的一个重要概念，也是研究代数结构的重耍工具，如在研究线性空间、拓扑空间等代数结构中常常见到幕等元的应用，幕等算子作为特殊的幕等元在算子理论屮是最基木的一类算子。借助于幕等算子有些问题会得到简化，算子谱投影、谱分解等一系列理论都建立在幕等算子的基础上。近年来，研究幕等算子问题

6、是一个比较活跃的领域并得到了许多结果，本文仅将Hilbert空间屮的幕等算子一些结论推广到Banach空间，并在前人的基础上讨论了Banach空间中幕等算了的一些基本性质及定理，且经过推理进一步得到一个算子成为幕等算子的充要条件及应用。—、基本概念定义1•设A是斤阶矩阵，若A2=A,则称4为幕等矩阵；一般地，把满足（£>1）的矩阵A叫做k次幕等矩阵。定义2.设X是实（或复）的线性空间，如杲对每个向量xeX,有一个确定的实数,记为制与Z对应，并且满足：1）

7、

8、x

9、

10、>0,且制=0等价于x=0；2）

11、

12、ax

13、

14、=

15、cr

16、

17、

18、x

19、

20、其中Q为任意实（复）数

21、；3）x+y<

22、

23、x

24、

25、+

26、y,x,yeXf则称制为向量兀的范数，称X按范数制成为赋范线性空间。完备的赋范线性空间称为Banach空间。定义3.设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，<7是X的线性子空间，T为cr到Y屮的映射，如果对任何x,yea,及数a,成立T(ax)=aTx,则称T为b到Y中的线性算子。定义4.设X和丫是两个赋范线性空间，丁是X的线性子空间口门到丫中的线性算子，如果存在常数c,使对所有xecr(T),有Tx

27、P是Banach空间(X,

28、

29、.

30、

31、)上的有界线性算子。如果P—p,则称P是(X,

32、.

33、

34、)上的幕等算子。一般地，把满足P