newch5插值型数值微分与数值积分

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1、第五章插值型数值微分与数值积分5.1插值型数值微分公式5.2插值型数值积分5.1插值型数值微分公式当x为插值节点时，上式简化为故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数值进行近似计算，f以便估计误差。一般地这类公式称为插值型数值微分公式。5.1.1常用的数值微分公式1.两点公式(n=1)这称为两点公式。即截断误差2.两点公式(n=2)即二阶导数（不要记忆）例1：已知列表X2.52.552.602.652.70Y1.581141.596871.612451.627881.64317解:h=0.05例5.1为计算在x=2处的一阶导数值

2、，我们可选用中点公式当计算保留四位小数时，得到计算结果如表5-1(书103页）。而精确值为，可见当h=0.1时近似结果最好，步长太大或太小计算效果均不好。为估计二阶导数数值微分公式的误差，可设f(x)四阶连续可微，故得从而得到误差估计式5.2插值型数值积分插值型数值积分的思想是：若已知则利用拉格朗日插值多项式建立近似计算公式这里称为插值型求积公式，称为求积节点，称为求积系数，其和下面求求积系数，设等距节点情形，即——牛顿-柯特斯公式Cotes系数特别地这称为梯形公式；几何意义：用梯形面积代替f(x)作为曲边的曲边梯形面积。图1梯形公式这称

3、为Simpsion公式图2Simpson公式几何意义：用抛物线替作曲边的曲边梯形面积代替f(x)作为曲边的曲边梯形面积。这称为Cotes公式。对应于情形的Cotes系数见表5-2(书106页)。5.2.2复合求积公式求积公式的稳定性分析：等距节点的插值求积公式，当n较大（n>7）时，系数中出现负数，而且有正有负，这将使舍入误差增大并难于估计，因此实际计算时一般不用n较大的公式，而是将积分区间(a,b)分成n个小区间，在每个小区间上用低阶New-Cotes公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值，由此得到一些有实

4、际意义的求积公式，称为复合求积公式。1.复合梯形公式(n=1,简记为Tn)3.复合Cotes公式(n=4，简记为Cn)(公式见书107页）2.复合Simpson公式(n=3,简记为Sn)2.确定h解：1写出公式例1计算，求4.由表格计算结果01411111.06253.76412421.253.20024231.56252.56002442211125.049418.837.69883.列表例2试利用表5-3的函数表，分别用复合梯形公式、复合Simpson公式和复合Cotes公式计算定积分解三、求积公式的误差：1.梯形公式误差：大区间上的

5、误差记为：2.Simpson公式误差不难推出3.Cotes公式误差四、变步长法则1.基本思想上面介绍的复化求积公式对提高进度是有效的，但是在使用求积公式之前，必须给出适当的步长。如果事先给出精度要求，在使用复化求积公式时，由于误差估计式中含有，而这是不知道的，因而h无法确定，也就是说无法进行事前误差估计，这就必须寻求事后估计误差的方法——逐次分半法。基本思想：在步长逐次分半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到二分前后两次积分值相当符合为止。2.变步长法则——逐次分半法以梯形公式为例：所以——逐项二次区间，只要相邻两次近似值之差小于

6、，则后一次值即为所求，这时h也为所求步长，这就是变步长法则。在上述变步长求积过程中，当二分次数越来越多时，每一步都要用复化求积公式，计算量非常大，所以要对上述方法进行改进。3.变步长求积的省算方案（以梯形法为例)simpson,cotes公式也可类似进行处理。例1计算，用计算0001111/80.12470.9976122/80.24740.9896133/80.36630.9768144/80.47940.9588155/80.58510.9362166/80.68160.9088177/80.76750.8777188/80.8415

7、0.84151例2试用梯形公式的步长逐次减半算法计算定积分使误差小于。解一般的计算结果见表5-4(书112页)。5.龙贝格积分法在上述变步长法则解决了误差的估计，又给出了省算方案，但当精度要求很高时，计算量是很大的，那么我们就要寻找一种方法，相对计算量小些，而精度又高。我们先考虑：我们分析一下：我们在变步长求积过程中，运用加速公式：其计算公式为注：这样的计算格式可根据精度自动停机。只要竖线上相邻两结果之差不超过给定精度为止。计算过程实质是将区间逐次分半计算，然后利用加速公式，故又叫逐次分半加速法。例1:用龙贝格计算解:第一步计算f(a),

8、f(b),第二步区间分半，计算第三步区间分半，算出第四步再分半，求第四步求列表：区间分数TSCR13.0000023.100003.1333343.131183.141573.1421483.