插值型数值微分的性质及其应用new

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1、1．引言求导是工程中常遇到的计算，在函数未知或函数表达3"0，⋯，式复杂时，需借助数值方法，即应用数值微分进行计算。插=值型数值微分是当前数值微分的主要方法之一，该方法基⋯嵩lLBdx)J于插值多项式建立用于求道的数值微分公式，实践中一般=Ⅵ，B(x)对插值做等距节点处理。插值型微分有何特点?插值型微分特别地，取x=xj，有求低阶数值导数的微分公式(1)和公式能否有简单快捷的推导方法?目前研究主要提出了基(2)。于数值精度的概念和基于插值多项式的Lagrange形式推导fAo(xj)]出一阶插值型数值

2、微分公式。这两种推导方法都比较复杂，(x)【wy．(o，⋯，嵩‘lWA()(1)且不能反映插值型微分自身的特性。本文首先给出插值型【【xj)j数值微分的矩阵形式，然后通过分析w(x)的特性，推导出等『Bo(xj)1距节点条件下插值型数值微分的几个性质，最后说明如何x)【、v-y(o，⋯，嵩‘lWB()(2)基于这些性质快速得到低阶(一阶和二阶)插值型微分公【Bn【)【j)J式。2．插值型数值微分概述计算误差分别为()￡j)=导w’()，()=对区fnq[a，b】上的被插函数f【x)，取n+1个插值节点

3、a=x0<、v．⋯

4、x)LⅡ【D)(x)来计算导数的近似值，相应误差为R(x)。工程中常用『0，n=l到的是n=l、2时的低阶数值微分。[毫}c一，+c0z’3．等距节点条件下插值型数值微分的特性Wt”(x1)(一1)Ⅱ、v”’()。如果记A(x)，B(x)证明岫w(x)=(x一⋯(x-xo)~(x)-w(x)1，，由插值多项式的拉格朗日形式可得：、v-．(xw(x)【。1(i≠t)，、vtI(x)f0，n--1(X)w'(—Ox)xfA0(x)1i6w(x)i熹南zs≠c)。_x[，⋯，嵩l(j-k)h，有：【Adx1

5、J(1)w’()【j)=(一1)1(n-j)!h，W’(x1)=(一ly(n-j)!j!hD=(一=WA(x)1)一Il、v’(xi)=(一1)’(x{)。作者简介：彭彬，男，湖北郧县人，硕士，讲师，研究方向：Web工程、网络与数据库、数值计算。一49—让明：j≠kAk(Xj)器：：(0-k)hAn(_-1)~-Nv'(xhi)一。(j_k)(一1)州Ak()时：A4x0I(导xn=掣==(一1-A综合匕述，(】)得证。j≠k时：B)二"w(xx-x2-2wxi)(i0'(i)、v．-．6毫【：：——

6、———————————、—————————————————(一(sO律j)：．w"(xi)(j-k)h-2w'(xi)一0～k)一。毫[BXn_j)=’(】‘n)『rn—i)一(n—k)1h一2()【n[(n—j)一(n—k)]2h2=(一1)ⅡB)=6()【}(T+扣“+11-丁1一丁1一1⋯·一j=k时：Bk(xk)=．w"(x)(x-x-2w'(x)(x-x0+2w(x)一I(x一l1)+占(占+．．’+1T丁1一-1r一1⋯一)+．．．+}(型)3I(一_『1_一1⋯·一=1)一_1l(一1⋯

7、·一1二『)⋯·一1(一一1)一(一)】hBxn==学=(一1)k(综合上述，(2)得证。性质2：如果xI一)【0=⋯一xn—l_b，flipud(A)表示对矩=6wr，毫}c毫一茎。-j-I}c荟n-jh阵的上下翻转运算，则有：、v．”(1)6w’()【n-j)【(十二F1+⋯++_『1_一丁1(1)A()【n-j)：(一1)州flipud(A(xj))(2)B(xn=(一1)~flipud(B(xj))1一_．．·一丁1)+(南+⋯+争+丁1一丁1一1～。证明：一})+⋯+}(一_『1_一1⋯·一

8、丁1)一丁1(一1⋯·一})⋯-一AXn_j)(一1)h~(xj)xj)Al(-j)(一1)一-()一l(Xj)1--A(】【Ⅱ)=(一1)厂l(一})】h1～l(xn_j)(～1)A·()A-(xI)=6(一1)’(xj)【}(++．“+{I一{_⋯·一Ao(x．O(一1)~+lAo(xj)Ao(xj)1)十占(占+．．．+}一丁1⋯一1)+．．．斗(斗⋯=f一1)~+'flipud(A(xj))Bo(xn-~)(～1)nBⅡ()BD(xj)l一亓1)