计算方法课件-第五章-插值型数值微分与数值积分.ppt

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1、第五章插值型数值微分与数值积分5.1插值型数值微分公式5.2插值型数值积分5.1插值型数值微分公式当x为插值节点时，上式简化为故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数值进行近似计算，以便估计误差。一般地这类公式称为插值型数值微分公式。5.1.1常用的数值微分公式给定两点上的函数值这称为两点公式。若给定三点上的函数值则由这称为三点公式，其中（5—4b）又称为中点公式。进一步由可得计算公式5.1.2数值微分公式的误差分析两点公式的截断误差为这里(5-6)三点公式的截断误差为(5-7)这里例5.1为计算在x=2处的一阶导数值

2、，我们可选用中点公式当计算保留四位小数时，得到计算结果如表5-1(书103页）。而精确值为，可见当h=0.1时近似结果最好，步长太大或太小计算效果均不好。为估计二阶导数数值微分公式的误差，可设f(x)四阶连续可微，故得从而得到误差估计式5.2插值型数值积分插值型数值积分的思想是：若已知则利用拉格朗日插值多项式建立近似计算公式这里称为插值型求积公式，称为求积节点，称为求积系数，其和5.2.1牛顿柯特斯公式则，N-C求积公式表示为Cotes系数特别地这称为梯形公式；这称为Simpson公式；这称为Cotes公式。对应于情形的Cote

3、s系数见表5-2(书106页)。5.2.2复合求积公式求积公式的稳定性分析：复合求积的方法：当取m=1时，称为复合梯形公式，简记为Tn当取m=2时，称为复合Simpson公式，简记为Sn当取m=4时，称为复合Cotes公式，简记为Cn(公式见书107页）例5.2试利用表5-3的函数表，分别用复合梯形公式、复合Simpson公式和复合Cotes公式计算定积分解5.2.3插值型求积公式的误差分析与步长减半算法记为采用插值型求积公式进行积分近似的截断误差，则由多项式插值公式的误差估计式（5-1）得因此，当f(x)为次数不超过n次的多项

4、式时，插值型求积公式精确成立，由此引出“代数精度”的概念。定义5.1（代数精度）若近似于定积分的数值积分公式当且仅当f(x)为次数不高于n次的代数多项式时恒等于定积分I,则称该数值积分公式的代数精度为m（次）。由定义知，插值型求积公式的代数精度至少为n。定理5.1设In为由N-C公式（5-10）计算生成，则当n为奇数时，In的代数精度为n；当n为偶数时，In的代数精度为n+1，且当在区间[a,b]上连续时，我们有如下误差估计式特别地，从而可得为便于估计误差，实际计算时常常采用步长逐次减半的算法，下面介绍其思想。由得所以因此，可先

5、用计算出T1，并把步长减半算出T2，若则T2即为所求的近似值，否则再把步长减半，算出T4，根据式(5-18a)进行事后误差估计，如此递推计算，直到某个n满足为止，取为所求的近似值，这就是梯形公式的步长逐次减半算法。类似地，可对Simpson公式和Cotes公式分别利用（5-18b）和（5-18c）进行事后误差估计，建立步长逐次减半的算法。为减少计算量，需建立递推公式，现对复合梯形公式推导之。这里对应于新的步长，对应于新分点。因此可建立梯形公式的步长逐次减半递推公式：例5.3试用梯形公式的步长逐次减半算法计算定积分使误差小于。解一

6、般的计算结果见表5-4(书112页)。5.2.4龙贝格积分法这说明收敛较快的Simpson步长减半序列可由梯形公式的步长减半序列构造生成。类似地，(5-20c)称为龙贝格（Romberg）积分公式。按以上方法可继续外推下去，建立如下收敛较快的外推算法—龙贝格积分法（书114页）。例5.4试用龙贝格积分法求解例5.3的定积分使误差小于用龙贝格积分法求解得到表5-5（书116页）。由于，故取与例5.3比较可见，对于该积分采用梯形公式的步长逐次减半算法计算所需乘除工作量为，并需计算个点上的函数值，而采用龙贝格积分法计算则需要乘除工作量

7、，与前者相同，但只需计算个点上的函数值，远远低于前者，因此，后者的总计算量远远低于前者，龙贝格积分法的加速效果十分显著。解