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1、复习：1.数值计算方法的含义2．误差及误差限3.误差与有效数字4.数值计算中应注意的问题第二章插值方法一．插值的含义问题提出：已知函数在n+1个点上的函数值，求任意一点的函数值。说明：函数可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值。解决方法：构造一个简单函数来替代未知（或复杂）函数，则用作为函数值的近似值。二、泰勒（Taylor）插值1.问题提出：已知复杂函数在点的函数值，求附近另一点的函数值。2.解决方法：构造一个代数多项式函数，使得与在点充分逼近。泰勒多项式为：显然，与在点，具有相同的i阶导数值（i=
2、0,1,…,n）。3.几何意义为：与都过点；与在点处的切线重合；与在点处具有相同的凹凸性；其几何意义可以由下图描述，显然函数能相对较好地在点逼近。4.误差分析（泰勒余项定理）：，其中在与之间。5.举例：已知函数，求。分析：本题理解为，已知“复杂”函数在=100点的函数值为，求的附近一点+15的函数值。解：（1）构造1次泰勒多项式函数：。其中，，，则有：故有误差分析：函数在[100,115]区间绝对值的极大值为，则有：于是近似值10.75有三位有效数字。几何意义：显然，也过点（100,10），且就是函数在点（100,10）处
3、的切线，如下图所示。（2）构造2次泰勒多项式函数：。把，及代入，有。分析误差函数在[100,115]区间绝对值的极大值为，则有于是近似值10.721875有四位有效数字。运行文件taylor.m：%已知函数f(x)=x^(1/2)，求f(115)%一次泰勒插值subplot(1,2,1);f=inline('x^(1/2)');p1=inline('5+0.05*x');fplot(f,[-50,300]);holdonfplot(p1,[-50,300]);plot(115,10.75,'*')line([115,115
4、],[0,10.75])%二次泰勒插值subplot(1,2,2);p2=inline('10+1/20*(x-100)-1/4000/2*(x-100)^2');fplot(f,[-30,300]);holdonfplot(p2,[-30,300]);plot(115,10.72,'*')line([115,115],[0,10.72])可以得到以下图形：6.泰勒插值存在的问题：1.函数必须存在n+1阶导函数，即使存在n+1阶导数，计算的工作量也比较大；2.要求h为个小量，若h较大，则计算的误差就很大。三．拉格朗日（La
5、grange）插值1.问题提出：已知函数在n+1个点上的函数值，求任意一点的函数值。说明：函数可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值。2.解决方法：构造一个n次代数多项式函数来替代未知（或复杂）函数，则用作为函数值的近似值。设，构造即是确定n+1个多项式的系数。3.构造的依据：当多项式函数也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数逼近于原来的函数。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组：其系数矩阵的行列式D为范德萌行列式：故当n+1个点的横坐标各不相同时，方程组系数矩阵的行列式D不等于零，故方
6、程组有唯一解。即有以下结论。结论：当已知的n+1个点的横坐标各不相同时，则总能够构造唯一的n次多项式函数，使也过这n+1个点。4.几何意义5．举例：已知函数，求。分析：本题理解为，已知“复杂”函数，当x=81,100,121,144时，其对应的函数值为：y=9,10,11,12，当x=115时，求函数值。解：（1）线性插值：过已知的（100,10）和（121,11）两个点，构造1次多项式函数，于是有则。（2）抛物插值：构造2次多项式函数，使得它过已知的（100,10）、（121,11）和（144,12）三个点。于是有2次拉
7、格朗日插值多项式：则有10.722755505364206.拉格朗日n次插值多项式公式：其中称为基函数（k=0,1,….,n），每一个基函数都是关于x的n次多项式，其表达式为：拉格朗日公式特点：1．把每一点的纵坐标单独组成一项；2.每一项中的分子是关于x的n次多项式，分母是一个常数；3.每一项的分子和分母的形式非常相似，不同的是：分子是，而分母是7.误差分析（拉格朗日余项定理），其中在所界定的范围内。针对以上例题的线性插值，有函数在[100,115]区间绝对值的极大值为，则有：于是近似值有三位有效数字。针对以上例题的抛物线
8、插值，有函数在[100,115]区间绝对值的极大值为，则有于是近似值10.72275550536420有四位有效数字。8.拉格朗日插值公式的优点公式有较强的规律性，容易编写程序利用计算机进行数值计算。9.拉格朗日插值通用程序程序流程图如下：文件lagrange.m如下：%拉格朗日插值closealln=
