数值计算方法—拉格朗日插值

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1、数值计算方法作业专业：测控1002学号：10540226姓名：崔海雪拉格朗日插值的算法及应用【摘要】本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。【关键词】拉格朗日；插值；公式；Matlab算法程序；一、绪论 约瑟夫·拉格朗日(JosephLouisLagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的

2、理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange插值有很多种，1阶，2阶,…n阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。二、正文1、基本概念已知函数y=f(x)在若干点的函数值=（i=0,1,,n）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p()=,i=0,1,,n,(1)则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，，，，

3、...,为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点求f()数值解，我们称为一个插值节点，f()p()称为点的插值，当[min(，，，...,)，max(，，，...,)]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n次多项式时称为n阶Lagrange插值。2、Lagrange插值公式（1）线性插值设已知，及=f(),=f(),为不超过一次多项式且满足=,=,几何上，为过（，），（，）的直线，从而得到=+（x-）.（2）为了推广到高阶问题，我们将式（2）变成对称式=（x）+(x).其中，（x）=,(x)=。均为1次多项式且满足（

4、x）=1且(x)=0。或（x）=0且(x)=1。两关系式可统一写成=。（3）（2）n阶Lagrange插值设已知，，，...,及=f()(i=0,1,.....,n),为不超过n次多项式且满足（i=0,1,...n）.易知=（x）+....+.其中，均为n次多项式且满足式（3）（i,j=0,1,...,n）,再由（ji）为n次多项式的n个根知=c.最后，由c=,i=0,1,...,n.总之，=，=式为n阶Lagrange插值公式，其中，（i=0,1,...n）称为n阶Lagrange插值的基函数。3，Lagrange插值余项设，，，...,[a

5、,b],f(x)在[a,b]上有连续的n+1阶导数，为f(x)关于节点，，，...,的n阶Lagrange插值多项式，则对任意x[a,b],其中，位于，，，...,及x之间（依赖于x），(x)=4.Matlab程序及计算结果clcclearx=[0.10.20.30.40.5];y=[1.10521.22141.34991.49181.6487];x0=0.285m=length(x);n=length(y);ifm~=nerror('xy矩阵不统一');endb=0;fork=1:5a=1;fori=1:5ifi~=k;a=a*(x0-x(i

6、))/(x(k)-x(i));endendb=y(k)*a+b;endL5=bb=0;fork=2:3a=1;fori=2:3ifi~=k;a=a*(x0-x(i))/(x(k)-x(i));endendb=y(k)*a+b;endL1=bb=0;fork=2:4a=1;fori=2:4ifi~=k;a=a*(x0-x(i))/(x(k)-x(i));endendb=y(k)*a+b;endL2=b运行结果：L5=1.3298L1=1.3306L2=1.32985．Lagrange插值应用在物理化学，资产价值鉴定工作和计算某一时刻的卫星坐标和钟

7、差等这些方面可以应用Lagrange插值。采用拉格朗日插值法计算设备等功能重置成本，计算精度较高，方法快捷。但是这方法只能针对可比性较强的标准设备，方法本身也只考虑了单一功能参数，它的应用范围因此受到了一定的限制。作为一种探索，我们可以将此算法以及其它算法集成与计算机评估分析系统中，作为传统评估分析方法的辅助参考工具，以提高资产价值鉴定工作的科学性和准确性。三，结论拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。参考文献参考文献[1

8、]关治.陈敬良.数值计算方法.北京:清华大学出版社,1995．[2]李有法//李晓勤.数值计算方法(高等学校教材).高等教育出版社