数值分析拉格朗日插值法.doc

《数值分析拉格朗日插值法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、```````````````````````````````````````````数值分析拉格朗日插值法拉格朗日插值的算法设计及应用【摘要】本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。【关键词】拉格朗日；插值；公式；算法程序；应用；科学。一、绪论 约瑟夫·拉格朗日(JosephLouisLagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体

2、运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange插值有很多种，1阶，2阶,…n阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。二、正文1、基本概念已知函数y=f(x)在若干点的函数值=（i=0,1,,n）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p()=,i=0,1,,n,(1)则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，，，，...,为插值节点，式（1）为插

3、值条件，如果对固定点求f()数值解，我们称为一个插值节点，f()p()称为点的插值，当[min(，，，...,)，max(，，，...,)]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n次多项式时称为n阶Lagrange插值。2、Lagrange插值公式（1）线性插值设已知，及=f(),=f(),为不超过一次多项式且满足=,=,几何上，为过（，），（，）的直线，从而得到=+（x-）.（2）为了推广到高阶问题，我们将式（2）变成对称式=（x）+(x).其中，（x）=,(x)=。均为1次多项式且满足（x）=1且(x)=0。或（x）=0且(x)=1。两关系式可统一写成=。

4、（3）（2）n阶Lagrange插值设已知，，，...,及=f()(i=0,1,.....,n),为不超过n次多项式且满足（i=0,1,...n）.易知=（x）+....+.其中，均为n次多项式且满足式（3）（i,j=0,1,...,n）,再由（ji）为n次多项式的n个根知=c.最后，由c=,i=0,1,...,n.总之，=，=式为n阶Lagrange插值公式，其中，（i=0,1,...n）称为n阶Lagrange插值的基函数。3，Lagrange插值余项设，，，...,[a,b],f(x)在[a,b]上有连续的n+1阶导数，为f(x)关于节点，，，...,的n阶Lagrange插

5、值多项式，则对任意x[a,b],其中，位于，，，...,及x之间（依赖于x），(x)=Eg1:已知函数表sin=0.5000,sin=0.7071,sin=0.8660,分别由线性插值与抛物插值求sin的数值解，并由余项公式估计计算结果的精度。解：（1）这里有三个节点，线性插值需要两个节点，根据余项公式，我们选取前两个节点，易知：sin()=0.5000+(-)=0.5000+0.2071=0.6381截断误差，=，得知结果至少有1位有效数字。（2）易知sin0.7071+=0.8660=0.6434截断误差为：得知结果至少有两位数字。比较本题精确解sin=0.642787609.

6、..,实际误差限分别为0.0047和0.00062。4，Lagrange插值算法和程序functionyy=nalagr(x,y,xx)%用途：Lagrange插值法数值求解；格式：yy=nalagr(x,y,xx)%x是节点向量，y是节点上的函数值，xx是插值点（可以多个），yy返回插值m=length(x);n=length(y);ifm~=n,error('向量x与y的长度必须一致');ends=0;fori=1:nt=ones(1,length(xx));forj=1:nifj~=it=t.*(xx-x(i))/(x(i)-x(j));endends=s+t*y(i);en

7、dyy=s;用以上程序的Eg1的结果为>>x=pi*[1/61/4];y=[0.50.7071];xx=2*pi/9;>>yy1=nalagr(x,y,xx)yy1=-0.5690>>x=pi*[1/61/41/3];y=[0.50.70710.866];>>yy2=nalagr(x,y,xx)yy2=0.8023>>fplot('sin',[pi/6,pi/3]);holdon;>>plot(x,y,'o',xx,0.6381,'g^',xx,0.6434,'rv'