数值计算方法-插值法x

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1、§1引言问题的提出函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据,即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)或者给出函数表y=f(x)y=p(x)xx0x1x2……xnyy0y1y2……yn第二章插值法满足则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为代数插值法。其几何意义如下图所示原理：定理1n次代数插值问题的解是存在且惟一的证明:设n次多项式是函数在区间[a,b]上的n+1个互异的节点(i=0,1,2,…,n)上的插值多项式,则求插值多项式P(x)的问题就归结为求它的系数(i=0,1,2,…,n)。由插值条件:(i=0,1,2,…,n),可得这是一个关于待定参

2、数的n+1阶线性方程组,其系数矩阵行列式为称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj（当i≠j），故V≠0。根据解线性方程组的克莱姆（Gramer）法则，方程组的解存在惟一，从而P(x)被惟一确定。惟一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示插值多项式,只要满足插值条件(2.1)其结果都是相互恒等的。x0x1xixi+1xn-1xny=f(x)y=p(x)ab在插值区间a,b上用插值多项式p(x)近似代替f(x),除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。若记R(x)=f(x)-p(x)则R(x)就是用p(x)近似代替f(x)时的截断误差,或

3、称插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。插值多项式的误差定理2设f(x)在a,b有n+1阶导数，x0,x1,…,xn为a,b上n+1个互异的节点,p(x)为满足p(xi)=f(xi)(i=1,2,…,n)的n次插值多项式，那么对于任何xa,b有插值余项其中a<

4、点,故可设其中为待定常数。由条件,可求得于是代入上式,得称为关于基点的n次插值基函数(i=0,1,…,n)以n+1个n次基本插值多项式为基础,就能直接写出满足插值条件的n次代数插值多项式。事实上，由于每个插值基函数都是n次值多项式,所以他们的线性组合是次数不超过n次的多项式,称形如（2.8）式的插值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为（2.8）§3均差与牛顿插值多项式拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便。但由于是用基函数构成的插值，这样要增加一个节点时，所有的基函数必须全部重新计算，不具备承袭性，还造成计算量的浪费。这就启发我们去构造一种具有承袭性的插值多项式来克服这个缺点，也就是说，每

5、增加一个节点时，只需增加相应的一项即可。这就是牛顿插值多项式。由线性代数知,任何一个不高于n次的多项式,都可以表示成函数的线性组合,也就是说,可以把满足插值条件p(xi)=yi(i=0,1,…,n)的n次插值多项式,写成如下形式其中ak(k=0,1,2,…,n)为待定系数,这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。我们把它记为Nn(x)即（3.12）可见，牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式p(x)的另一种表示形式,与Lagrange多项式相比它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点,且可以节省乘除法运算次数,同时在Newton插值多项式中用到差分与差商等概念，又与数

6、值计算的其他方面有密切的关系.它满足其中ak(k=0,1,2,…,n)为待定系数，形如（3.12）的插值多项式称为牛顿(Newton)插值多项式。3.1差商及其性质定义函数y=f(x)在区间[xi,xi+1]上的平均变化率自变量之差和因变量之差之比叫差商称为f(x)关于xi,xi+1的一阶差商,并记为f[xi,xi+1]二阶差商m阶差商f[xi,xj,xk]是指f[xi,xj,xk]=f[xj,xk]-f[xi,xj]xk-xi一般的,可定义区间[xi,xi+1,…,xi+n]上的n阶差商为差商及其性质差商表xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1

7、,xi+2]x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]………f[x1,x2]-f[x0,x1]x2–x0xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+2]002832751256216例2.11求f(xi)=x3在节点x=0,2,3,5