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1、第二章插值法（Interpolation）2.1引言2.2拉格朗日插值2.3均差与牛顿插值公式2.5分段低次插值2.6三次样条插值2.4埃尔米特插值Chapter2插值法7/16/20211Chapter2插值法表示两个变量x,y内在关系一般由函数式y=f(x)表达。但在实际问题中的函数是多种多样的,有下面两种情况：（1）由实验观测而得的一组离散数据(函数表)，显然这种函数关系式y=f(x)存在且连续，但未知。（2）函数解析表达式已知，但计算复杂，不便使用。通常也列函数表，如y=sin(x),y=
2、lg(x)2.1引言7/16/20212办法是：根据所给的y=f(x)的函数表，构造一个简单的连续函数P(X)近似替代f(x)。Chapter2插值法2.1引言近似代替即逼近的方法有很多种：插值方法、最佳一致逼近、最佳平方逼近、曲线拟合。由于问题的复杂性,直接研究函数f(x)可能很困难,但为了研究函数的变化规律,有时要求不在表上的函数值，怎么办？简单连续函数P(x)指可用四则运算计算的函数:如有理函数(分式函数),多项式或分段多项式。7/16/20213Chapter2插值法2.1引言插值问题的数
3、学提法：已知函数y=f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,…,n)，求一个简单函数y=P(x)，使其满足P(xi)=yi,（i=0,1,…,n）。即要求该简单函数曲线要经过y=f(x)上已知的这n+1个点(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),同时在其它x∈[a,b]上要估计误差R(x)=f(x)-P(x)。7/16/20214Chapter2插值法2.1引言重要术语对于n+1个基点的插值问题，我们称：f(x)为被插值函数；P(x)为插值函数；
4、x0,x1,…,xn为插值基点或插值节点；P(xk)=f(xk),k=0,1,…,n为插值条件；[a,b]为插值区间。注释：对于早期的插值问题来说，f(x)通常是已知的，比如对数函数，指数函数，三角函数等，这些问题现在已经不用插值法来计算了；对于现在的许多实际问题来说，我们并不知道f(x)的具体形式，所对应的函数值可能是由测量仪器或其他物理设备中直接读出来的，f(x)只是一个概念中的函数。7/16/20215Chapter2插值法2.1引言多项式插值对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次
5、数不超过n的多项式，记为Pn(x)，则相应的问题就是多项式插值，并且把Pn(x)称为插值多项式。实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数或分段多项式函数。由于次数不超过n的多项式的一般形式为：Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn所以只要确定了n+1个系数a0，a1，…，a2，an，我们便确定了一个插值多项式。7/16/20216Chapter2插值法yx2.1引言x0x1x2…xn-1xny0y1y2多项式插值的几何意义：多项式Pn(x)，其几何曲线过给定的y=f(x)的n+1个
6、点(xi,yi)i=0,1,2,…,n。ynyn-17/16/20217Chapter2插值法2.2拉格朗日插值Lagrange插值7/16/20218Chapter2插值法2.2拉格朗日插值2-1插值多项式的唯一性已知y=f(x)的函数表，且xi(i=0,1,…,n)两两互异，xi∈[a,b]。求次数不超过n的多项式使得Pn(xi)=yi,i=0,1,2…,n此问题中Pn(x)是否存在？存在是否唯一？如何求？显然关键是确定多项式Pn(x)的系数a0,a1,…,an。7/16/20219Chapt
7、er2插值法2.2拉格朗日插值2-1插值多项式的唯一性定理：在n+1个互异的插值节点x0,x1,…,xn上满足插值条件Pn(xi)=yi,i=0,1,2…,n的次数不超过n的代数多项式Pn(x)存在且唯一。分析：为求主要考虑插值条件7/16/202110Chapter2插值法2.2拉格朗日插值2-1插值多项式的唯一性证明：由插值条件，有其系数矩阵的行列式为关于未知量a0,a1,…,an的非齐次线性方程组7/16/202111Chapter2插值法2.2拉格朗日插值例给定f(x)的函数表，求f(x)
8、的次数不超过3的插值多项式。x-1125y-77-435解：设则，解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2即P3(x)=10+5x-10x2+2x3当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！！7/16/202112Chapter2插值法2.2拉格朗日插值2-2线性插值与抛物插值问题的提法：已知函数y=f(x)的函数表求次数不超过1的多项式L1(x)=a0+a1x满足插值条件L1(xk)=yk,L1(xk+1)=yk+1。xxkxk+1yykyk+1分析:过两点
