计算方法插值法ppt课件.ppt

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1、当未知函数y=f(x)非常复杂时，在一系列节点x0…xn处测得函数值：y0=f(x0)…yn=f(xn)由此构造一个简单易算的近似函数P(x)f(x)，满足条件P(xi)=f(xi)(i=0,…n)，称P(x)为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是多项式插值法比较古老,常用的方法。§1拉格朗日多项式niyxPiin,...,0,)(==求n次多项式使得条件：无重合节点，即n=1已知x0,x1;y0,y1，求使得111001)(,)(yxPyxP==可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。)()(0010101xxxxyyyx

2、P---+=101xxxx--010xxxx--=y0+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxln1希望找到li(x)，i=0,…,n使得li(xj)=ij；然后令==niiinyxlxP0)()(，则显然有Pn(xi)=yi。每个li有n个根x0…xi-1，xi+1…xn=ixl-jijixxC)()(-==jijiiiixxCxl)(11)(n次插值基函数，Lagrange插值多项式定理(唯一性)满足的n阶插值多项式是唯一存在的。证明：若除了Ln(x)外还有另一n阶多项式Pn(x)满足Pn(xi)=yi。考察则Qn的阶数

3、n而Qn有个不同的根n+1x0…xn拉格朗日插值余项设节点在[a,b]内存在,考察截断误差，且f满足条件,Rn(x)至少有n+1个根=-=niinxxxKxR0)()()(给定xxi(i=0,…,n),考察=-=niixtxKtRnt0)()()()(j(t)有n+2个不同的根x0…xnx，=0+--++!)1)(()()()1()1(nxKLfxnnxnxx!)1()()()1(+=+nfxKxnx当f(x)为任一个次数n的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。通常不能确定x,而是估计,x(a,b)将作为

4、误差估计上限。例：已知分别利用sinx的2次Lagrange插值计算sin50并估计误差。)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的实际误差0.00061§2均差与牛顿插值公式Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数li(x)都需重新算过。将Ln(x)改写成的形式，希望每加一个节点时，只附加一项上去即可。均差的定义：先介绍均差的定义及性质差商的值与xi的顺序无关！性质2（对称性）性质3（与导数的关系）性质1（线性组合）其中例Newton均差插值公式：1次插值多项式它满足(k<

5、=n)Newton均插差值公式ai=f[x0,…,xi]实际计算过程为…,…由唯一性可知Nn(x)Ln(x)，只是算法不同，故其余项也相同，即现在我们讨论Hermite插值不仅要求函数值相等，而且要求某些节点的若干阶导数也相等。要求在1个节点x0处直到m0阶导数都重合的插值多项式即为Taylor多项式其余项为N个条件可以确定N-1阶多项式。一般只考虑f与f’的值。