《牛顿插值法》PPT课件

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1、数值分析第二章插值法均差与牛顿插值公式Lagrange插值多项式的缺点我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为理论分析中很方便，但是当插值节点增减时全部插值基函数就要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的；Lagrange插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数li(x)都需重新算过。两点直线公式((xk,yk)(xk+1,yk+1))考虑点斜式，两点为((x0,y0)(x1,y1)):在此基础上增加一个节点(x2,y2)，则过这三个点的插值多项式C(x)应是一个二次多项式。所以有C(x)应是一个二次多项式。根据插值条件根据插值条件：可以求出：重新写

2、p2(x)：基函数有再继续下去待定系数的形式将更复杂。。。。。。为此引入差商和差分的概念差商(亦称均差)/*divideddifference*/1阶差商/*the1stdivideddifferenceoffw.r.t.xiandxj*/2阶差商定义2.11101010111010],,...,[],,...,[],,...,[],...,,[],...,[++--+++--=--=kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(k+1)阶差商差商的计算方法(表格法):规定函数值为零阶差商差商表差商具有如下性质:Warning:myheadisexploding

3、…Whatisthepointofthisformula?差商的值与xi的顺序无关！Newton插值公式及其余项12…………n+11+(xx0)2+……+(xx0)…(xxn1)n+1Nn(x)Rn(x)ai=f[x0,…,xi]Newton插值公式及其余项Newton插值公式及其余项例：已知x=1,4,9的平方根为1,2,3，利用牛顿基本差商公式求的近似值。解：从而得二阶牛顿基本差商公式为因此计算得的近似值为复习：多项式插值问题：寻找一个n次多项式，满足下列插值条件：函数在插值节点上的取值为：Lagrange插值方法其中：余项公式：Newton插值方法其中：余项公式：性质

4、3P32练习上面我们讨论了节点任意分布的插值公式，但实际应用时经常会遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单多了，为了给出等距节点的插值公式，我们先来看一个新概念；向前向后中心差分算子不在函数表上，要用到函数表上的值利用一阶差分可以定义二阶差分差分可以用归纳法证明如差分差分表差分与函数值之间的关系归纳可知，k阶差商可表示为在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系依此类推由差商与向前差分的关系Newton插值基本公式为如果假设1.Newton向前(差分)插值公式则插值公式化为其余项化为称为Newton向前插值公式插值余项为Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加

5、节点时,计算只要增加一项,这点是Lagrange插值无法比的.但是Newton插值仍然没有改变Lagrange插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点.