计算方法与实习插值法ppt课件.ppt

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1、第四章插值法第一节问题的提出由表格方式给出的函数或者试验数据（如观测）得到的离散值（离散样点），即y=f（x）所对应的yj=f（xj）（j=0，1……n），但在x的其他点上f（x）值是未知的。表格函数不便于分析其性质和变化规律，不能求出其他的f（x）。若找一个简单的函数p（x）近似于f（x），则可以解决以上的问题。插值法就是寻求p（x）的一种方法。一、插值函数的概念1.定义1：设函数y=f（x）在[a，b]上有定义，且在ax0x1…xnb上的值分别为y0，y1…yn，即yj=f(xj）（j=0，1……n），若存在一个简单函数p(x)使p(

2、xj)=f(xj）=yj（j=0,1,…,n）(插值条件)则称p（x）为f（x）的插值函数，xj—插值节点，[a，b]—插值区间求p（x）的方法称为插值法。R（x）=f（x）-p（x）插值余项（截断误差）若p（x）是n次代数多项式p(x)=anxn+an-1xn-1+…...a1x+a0则称p(x)是插值多项式，它简单只有+，-，*，/运算。要做的工作是：根据yj=f(xj）去构造满足插值条件的p（x）。2.插值法的几何意义通过n+1个点（xj，yj）（j=0，1……n）作一条代数曲线y=p（x）近似于f（x）。使得在xj上p(xj)=f(xj

3、），而在[a,b]其他点上有R（x）=f（x）－p（x）

4、R（x）

5、越小近似程度就越高。见P74图4-1-1。二、p（x）存在的唯一性定理1：满足条件p(xj)=yj（j=0，1……n）的多项式p（x）=anxn+an-1xn-1+…...a1x+a0是存在且唯一的。证：（略）现在有n+1个条件，实际上就是求解一个n+1阶的线性方程组，从而解出这an，an-1，……，a1，a0共n+1个多项式系数。第二节拉格朗日插值多项式若是求解线性方程组来得出an…...a0，随着n的增大，则使计算复杂，还有可能产生病态方程组。当可以才用构造法来解出系数。一

6、、线性插值（当n=1时）已知y0=f(x0），y1=f(x1）共有2个插值节点，过（x0，y0）及（x1，y1）作直线方程为（y-y0）/（x-x0）=（y1-y0）/（x1-x0）变换得点斜式：N1(x）=y=y0+[（y1-y0）/（x1-x0）]（x-x0）对称式：L1(x）=y=[（x-x1）/（x0-x1）]y0+[（x-x0）/（x1-x0）]y1N1(x），L1(x）均为x的一次多项式，即一次函数，从而实现了线性插值。令l0(x）=（x-x1）/（x0-x1）l1(x）=（x-x0）/（x1-x0）l0(x）和l1(x）称为线性插

7、值基函数，有如下性质：1i=jli(xj）=（i，j=0，1）0ij所以对称式可以记为L1(x）=l0(x）y0+l1(x）y1二、抛物线插值（当n=2时）有三个插值节点yj=f(xj）（j=0，1，2），这是通过三个点的抛物线。现构造L2(x）=y0l0(x）+y1l1(x）+y2l2(x）li(x）应为二次多项式，且满足1i=jli(xj）=（i，j=0，1）0ijl0(x）是以x1，x2为零点（l0(x1）=l0(x2）=0）的二次多项式。所以l0(x）=A（x-x1）（x-x2）因为l0(x0）=A（x0-x1）（x0-

8、x2）=1所以A=1/（x0-x1）（x0-x2）有l0(x)=[（x-x1）（x-x2）]/[（x0-x1）（x0-x2）]同理l1(x)=[（x-x0）（x-x2）]/[（x1-x0）（x1-x2）]l2(x)=[（x-x0）（x-x1）]/[（x2-x0）（x2-x1）]2L2(x）=li(x）yi，且L2(xj）=yj（j=0，1，2）i=0三、拉格朗日插值多项式对n+1个节点yj=f(xj）（j=0，1，2……n）作构造式nLn(x）=li(x）yi，使Ln(xj）=yj（j=0，1……n）i=0这是n次多项式。插值基函数满足1

9、i=jli(xj）=（i，j=0，1……n）0ij可设li(x)=A(x-x0)(x-x1)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)则li(xi)=A(xi-x0)(xi-x1)…(xi-xi-1)(xi-xi+1)…(xi-xn)=1所以A=1/[(xi-x0)(xi-x1)…(xi-xi-1)(xi-xi+1)…(xi-xn)]li(x)=[(x-x0)(x-x1)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)]/[(xi-x0)(xi-x1))…(xi-xi-1)(xi-xi+1)…(xi-xn)]n=（x-xj）/（x

10、i-xj）（i=0，1，……n）j=0ji故nnnLn(x）=li(x)yi=[（x-xj）/（xi-xj）]yii=0i=0j=0ji令n