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1、第1次Lagrange插值计算方法(NumericalAnalysis)本讲内容插值法的基本概念拉格朗日（Lagrange）插值Lagrange插值的例子Lagrange插值的误差插值法的基本概念§1引言问题的提出若函数f(x)的解析式未知，而通过实验观测得到的一组数据,即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)xx0x1x2……xnyy0y1y2……yn第二章插值法问题：怎样(近似)计算函数f(x)在[a,b]上的函数值呢？y=f(x)x1x2xnx0x3一般插值法的基本概念(2.1)设函数
2、y=f(x)定义在区间[a,b]上,是[a,b]上取定的n+1个互异节点，且在这些点处的函数值为已知,即。若存在一个f(x)的近似函数，满足则称为f(x)的一个插值函数，点xi为插值节点,称(2.1)式为插值条件。在其它点x处就用的值作为f(x)的近似值。越简单越好………y=f(x)x1xn插值函数目的：使得近似等于f(x).而误差函数称为插值余项,区间[a,b]称为插值区间.x0bax2用的值作为f(x)的近似值,不仅希望能较好地逼近f(x)，而且还希望它计算简单。评论：由于代数多项式具有数值计算和理论分析方
3、便的优点。所以本章主要介绍利用代数多项式进行插值，即代数插值。定义：若存在一个次数不超过n次的多项式使得满足：则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。……以上这种插值法通常称为代数插值法。其几何意义如下图所示:y=f(x)x1x2xny=p(x)为n次多项式x0yxxk问题：这样的多项式是否存在？定理1n次代数插值问题的解是存在且唯一的。则求插值多项式P(x)的问题就归结为求它的系数证明:设n次多项式是函数在区间[a,b]上的n+1个互异节点上的插值多项式。…由插值条件可得:n+1个方程n+1个未知数a0,a1
4、,…,an…………这是一个关于待定参数的n+1阶线性方程组，其系数矩阵行列式为称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj（当i≠j），故V≠0。根据克莱姆（Gramer）法则，方程组的解存在并且唯一，从而P(x)被唯一确定。………………评论：以上使用线性方程组求解系数ak(k=0,…,n)，以便获得多项式的方法复杂，不常用；唯一性：不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示n次插值多项式,只要满足插值条件(2.1)其结果都是相互恒等的；即n次插值多项式P(x)是唯一的。HomeLagrange插
5、值§2拉格朗日（Lagrange）插值为了构造满足插值条件的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形,然后再推广到一般形式。（1）线性插值现要求用线性函数近似地代替f(x)。称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定函数f(x)在两个互异的点的值，选择参数a和b,使得线性插值的几何意义:用通过两点的直线近似地代替曲线y=f(x)，如图所示：y=f(x)x0x1P(x)=ax+b为了便于推广，记由解析几何知道,这条直线用点斜式表示为改写为线性插值基函数或者写
6、成：推导线性插值基函数具有如下性质：即x0x11于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合例2.1已知，求解:x100121y1011利用线性插值化简，得于是：（2）抛物插值要构造次数不超过二次的多项式抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0，y1，y2使满足二次插值条件：这就是二次插值问题。其几何意义是用经过3个点用以近似计算的抛物线y=f(x)x0x2y=L2(x)x1y0y2y1xyP(x)的系数直接由插值条件决定，即满足代数方程组：因为，所
7、以方程组有解唯一解：系数矩阵可用于求2次插值多项式仿照线性插值,现在试图用基函数的方法确定2次插值多项式显然应该有以下的形式由确定系数从而导出求二次式,使满足条件：类似地可以构造出插值多项式于是确定了3个抛物插值的基函数：x0x2x1xy1y=l0(x)y=l1(x)y=l2(x)3个抛物插值的基函数取已知数据作为线性组合系数,将基函数线性组合可得容易看出,P(x)满足条件即已知：2个插值点可求出一次插值多项式,而3个插值点可求出二次插值多项式。一般形式的拉格朗日插值多项式……插值点增加到n+1个时,可通过n+
8、1个不同的已知点来构造一个次数为n的代数多项式P(x)。先构造一个特殊n次多项式的插值问题,使其在各节点上满足…即由条件,得其中为待定常数。由条件知都是n次的零点。故可设…………代入上式,得称为关于基点的n次插值基函数以n+1个n次基本插值多项式为基础，可直接写出满足插值条件的n次代数插值多项式：………是次数不超过n次的多项式。（2.8）由于每个插值基函数都是n次多项式,所以他们的线性
