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1、在生产和实验中，函数f(x)无表达式,只知道f(x)在一些给定点的函数值(或其导数值)，或者其表达式复杂不便于计算，此时我们希望建立一个简单而又便于计算的函数(x)，使其近似的代替f(x).第四章插值与拟合插值法：插值法是利用函数f(x)在一组节点x0,x1,...,xn上的值y0,y1,…,yn，构造一个插值函数(x)来逼近已知函数f(x)，并要求插值函数与已知函数在节点处的函数值相同,即:(x0)=y0,(x1)=y1,,(xn)=yn求近似函数(x)的方法一般分为两类:一类是插值,另一类是拟合.引例及问题综述插值
2、法：插值法是利用函数在一组节点上的值，构造一个插值函数(x)来逼近已知函数f(x)，并要求插值函数与已知函数在节点处的函数值相同。曲线拟合方法:不要求近似函数(x)所表示的函数严格通过已知数据点(xi,yi),而是通过观察这些点的分布规律，选择某种能描述这一近似规律的函数(x)来逼近函数f(x)，然后按照某种原则使逼近效果总体上尽可能好，其中最常见的原则就是最小二乘原理。但在实际应用中，节点上的函数值通常不是精确值，而是由实验或测量得到的数据，不可避免的带有误差，如果用插值法，会保留这些误差，影响精度。为了尽量减少这种测量误差
3、，人们又提出了另外一种构造近似函数的方法——曲线拟合方法。原始数据的散点图分段线性插值二次分段拟合曲线已知数据点(xi,yi)艾滋病疗法的评价及疗效的预测2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”,英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致A
4、IDS发作。艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。附件1:同时服用3种药物（zidovudine(齐多夫定),lamivudine(拉米夫定),indinavir(茚地那韦)）的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度。第1列是病人编号，第2列是测试CD4的时刻（周），第3列是测得的C
5、D4（乘以0.2个/ml），第4列是测试HIV的时刻（周），第5列是测得的HIV（单位不详）。现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。(略)PtIDCD4DateCD4CountRNADateVLoad23424017805.523424422843.923424812684.7234242517125423424409940501405.3………………………………………附件2:1300多名病人按照4种疗法服药大约每隔8周测试的CD4浓度。第1列是病人编号，第2列是4种疗法的代码：1=600mgzidovudine(
6、齐多夫定)与400mgdidanosine(去羟肌苷)按月轮换使用；2=600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine(双脱氧胞苷)；3=600mgzidovudine加400mgdidanosine；4=600mgzidovudine加400mgdidanosine加400mgnevirapine(奈韦拉平)。第3列是病人年龄，第4列是测试CD4的时刻（周），第5列是测得的CD4，取值log(CD4+1).ID疗法年龄时间Log(CD4count+1)1236.427103.13551236.42717.571
7、43.04451236.427115.57142.77261236.427123.57142.83321236.427132.57143.2189………….请你完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。（3）艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mgzidovudin
8、e1.60美元，400mgdidanosine0.85美元，2.25mgzalcitabine1.85美元，400mgnevirapine1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。
