【培优练习】《基本不等式》（数学北师大版必修5）

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1、北京师范大学出版社高三(必修5)畅言教育《基本不等式》培优练习1．若实数a，b，c满足a2b2＋(a2＋b2)c2＋c4＝4，则ab＋c2的最大值为(　　)A．1B．2C．3D．42.设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是(　　)A．2B．4C．2D．53．若a>0,b>0,且a+b=1，则的最小值为()(A)2(B)4(C)(D)4.已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为　(　　)(A)5(B)7(C)8(D)95.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的污水处理池,池的深度一定

2、(平面图如图所示),如果池围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计.用心用情服务教育北京师范大学出版社高三(必修5)畅言教育(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.(2)若由于地形限制,设池的长和宽都不能超过16米,试设计该水池的长和宽,使总造价最低.答案和解析1．【答案】B　[解析](ab＋c2)2＝a2b2＋2abc2＋c4≤a2b2＋(a2＋b2)·c2＋c4＝4，所以ab＋c2≤2，等号当且仅当a＝b时成立，此时a2b2＋(a2＋b2)c2＋c4＝4，即a4＋2a

3、2c2＋c4＝4，即a2＋c2＝2，其中a＝b＝c＝1就是满足其取得最小值时的一组实数值．2．【答案】B　[解析]原式＝a2＋a2＋ab－ab＋＋－10ac＋25c2＝a(a－b)＋＋ab＋＋(a2－10ac＋25c2)≥2＋2＋(a－5c)2＝4＋(a－5c)2≥4＋0＝4.当且仅当即a＝，b＝，c＝时，等号成立．3.【答案】C由已知利用基本不等式得ab的取值范围而后换元利用函数的单调性求解.用心用情服务教育北京师范大学出版社高三(必修5)畅言教育[解析]由a+b=1，a>0,b>0得2≤a+b=1,∴≤,∴ab≤.令ab=t,则0

4、像可知t+在(0,］上是单调减小的，故当t=时,t+有最小值为+4=.4.【答案】B[解析]由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3,即log2[(m-2)(2n-2)]=3,因此于是n=+1.所以m+n=m++1=m-2++3≥2+3=7.当且仅当m-2=,即m=4时等号成立,此时m+n取最小值7.5.【解析】(1)设污水处理池的宽为x米,则长为米,则总造价f(x)=400×(2x+2×)+248×2x+80×162=1296x++12960=1296(x+)+12960≥1296×2+12960=38880(元).当且仅当x=,x=10时取等号.∴当长为

5、16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元.(2)由限制条件知∴10≤x≤16.用心用情服务教育北京师范大学出版社高三(必修5)畅言教育设g(x)=x+(10≤x≤16),∴g(x)在[10,16]上是增函数,∴当x=10时(此时=16),g(x)取最小值,即f(x)取最小值.∴当长为16米,宽为10米时,总造价最低.用心用情服务教育