线性代数试卷二含答案

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1、线性代数综合练习题（二）一、选择题1.设是四维列向量，且，，则（）。（A）（B）（C）（D）2.如果为三阶方阵，且，则（）。（A）4（B）8（C）2（D）163.设为阶方阵，且，则（）。（A）中必有两行（列）的元素对应成比例，（B）中至少有一行（列）的元素全为0，（C）中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合，（D）中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。4.设矩阵、的秩分别为，则分块矩阵的秩满足（）。（A）（B）（C）（D）5.设为阶方阵，是阶正交阵，且，则下列结论不成立的是

2、（）。（A）与相似（B）与等价（C）与有相同的特征值（D）与有相同的特征向量二、填空题1.阶行列式。2.设，，，则。3.设三阶矩阵，满足，且，则。4.设四阶方阵，则。5.设向量组，，线性相关，则。6.设三阶方阵的特征值为1，2，3，则，的特征值为，的特征值为。7.设二次型为正定二次型，则的范围是。三、计算题1.求向量组，，，，的秩与一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示。2.为何值时，方程组有惟一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出方程组的通解。3.三阶实对称矩阵的特征值为，，对应于

3、特征值的特征向量为,求。4.已知二次型，（1）写出二次型的矩阵表达式，（2）用正交变换把化为标准形并写出相应的正交变换。四、证明题1.设为阶方阵，如果存在正整数，使得，证明可逆，并求逆。2.设是阶方阵的特征值，对应的特征向量分别为，证明不是的特征向量。线性代数综合练习题（二）参考答案一、选择题1.C2.A3.C4.A5.D二、填空题（每空3分）1.；2.；3.；4.；5.6.，，6，3，2；7..三、计算题1.解：，所以，是一个最大无关组，并且有，.2.解：，当，即且时，方程组有惟一解.当时，此时，

4、方程组有无限多个解.，并且通解为，当时，此时，方程组无解.3.解：先求对应于特征值1的特征向量，设是对应于1的特征向量，则有，因而，，为不等于0的任意常数.取，，，令，则有，因此，.4.解：（1）（2），所以的特征值为，，当时，由得对应于5的特征向量，当时，由得对应于的特征向量，.取，，，令，则为正交矩阵，且，因此，所求的正交变换为，并且四、证明题1.证：所以，可逆，并且.2.证：假设是的对应于的特征向量，则因为,所以，由于是对应于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，从而，矛盾！