卷二╱线性代数试卷

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1、卷四一．填空题（每小题4分，共40分。请将答案写在答题纸上）1．中的系数为。2．设为三阶方阵，且若将按列分块为，则。3．设为三维列向量，且，则。4．设，则。5．设是三阶方阵，其行列式为，则行列式。6．设矩阵满足，则。7．设向量组与等价，则的取值应满足。8．设是实正交矩阵，且，则线性方程组的解为。9．已知三阶方阵的特征值为，则行列式。10．已知矩阵的秩为，，则。7二．（10分）设，，（为常数）.求向量组的秩和它的一个极大无关组。三．（10分）已知，矩阵满足关系式：，求。四．（10分）设矩阵，其行列式为，又的伴随矩阵有一个特征值，的属于的一个特征向量为，求的值。五．（12分）问取何值时，线性方

2、程组无解，有惟一解或无穷多解？并在有无穷多解时给出方程组的通解。六．（10分）已知实对称矩阵的秩为2，求出的值并求一个正交矩阵，使为对角矩阵。七．（8分）设均为阶方阵，且满足关系式，证明矩阵可逆当且仅当可逆。7参考答案一．填空题（每小题4分，共40分。请将答案写在答题纸上）1．中的系数为-8。2．设为三阶方阵，且若将按列分块为，则48。3．设为三维列向量，且，则12。4．设，则-26。5．设是三阶方阵，其行列式为，则行列式1/3125。6．设矩阵满足，则。7．设向量组与等价，则的取值应满足。8．设是实正交矩阵，且，则线性方程组的解为。9．已知三阶方阵的特征值为，则行列式105。10．已知矩

3、阵的秩为，，则2。7二．（10分）设，,为常数.求向量组的秩和它的一个极大无关组。解.当时,秩为3,一个极大线性无关组为;当时,秩为4,一个极大线性无关组为.三．（10分）已知，矩阵满足关系式：，求。解等价于从而由已知得,于是7四．（10分）设矩阵，其行列式为，又的伴随矩阵有一个特征值，的属于的一个特征向量为，求的值。解由及得,得即.(1)由上式(1)及条件,即解得五．（12分）问取何值时，线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？并在有无穷多解时给出方程组的通解。解方程组的系数行列式.(1)当时,方程组有惟一解;(2)当时,方程组为7,可见这时方程组有无穷多解,求得其通解为:(3)当时,方程组

4、为后两个方程是矛盾方程,因而此时方程组无解.六．（10分）已知实对称矩阵的秩为2，求出的值并求一个正交矩阵，使为对角矩阵。解依题意有,解得.的特征多项式为所以的特征值为:对,解方程组,即得特征向量;7对,解方程组,即得特征向量;对,解方程组,即得特征向量;单位化特征向量得:.令,则是正交矩阵,且满足七．（8分）设均为阶方阵，且满足关系式，证明矩阵可逆当且仅当可逆。证明若可逆,则,由可逆;反之,若可逆,则,由可逆.7