卷九╱线性代数试卷

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1、卷十一、填空（每空4分，共40分）1．已知矩阵，则2．设为阶矩阵，且，又，则3．设为3阶方阵，且，为的伴随阵，则4．设均为4维列向量，且，，，若，则5．设向量，线性相关，则满足关系式6．已知，为单位矩阵，则7．设3阶方阵的特征值为1，2，3，则的三个特征值分别为8．设方阵相似于，则9．已知四元非线性方程组的系数矩阵的秩为3，且10是它的三个解向量，其中，，则该方程组的通解为1．已知二次型，则的矩阵二（10分）已知为阶方阵，且，，，求行列式的值。三（10分）已知，，矩阵满足，求矩阵。四（12分）设有向量组：，，（

2、1）求向量组的秩及其一个极大线性无关组；（2）把的其余向量用此极大无关组线性表示。五（12分）问为何值时，下列方程组有解，并求出方程组的通解。10六（12分）设矩阵，（1）求可逆阵，使得为对角阵；（2）求。七（4分）设n阶方阵满足，证明相似于一个对角阵。10参考答案一.填空（每空4分，共40分）1．已知矩阵，则2．设为阶矩阵，且，又，则03．设为3阶方阵，且，为的伴随阵，则4．设均为4维列向量，且，，，若，则5．设向量，线性相关，则满足关系式a=2b6．已知，为单位矩阵，则7．设3阶方阵的特征值为1，2，3，则

3、的三个特征值分别为6,3,2101．设方阵相似于，则52．已知四元非线性方程组的系数矩阵的秩为3，且是它的三个解向量，其中，，则该方程组的通解为3．已知二次型，则的矩阵二（10分）已知为阶方阵，且，，，求行列式的值。解：10,三（10分）已知，，矩阵满足，求矩阵。解：因为所以对矩阵施行初等行变换，，10四（12分）设有向量组：，，（1）求向量组的秩及其一个极大线性无关组（2）把的其余向量用此极大无关组线性表示解：对向量组A施行初等行变换：所以向量组的秩为3，为其一个极大无关组，且五（12分）问为何值时，下列方程

4、组有解，并求出方程组的通解。解：10所以当a=0,b=2时<5，方程组有无穷多解。此时同解方程组为：通解为：，其中为任意常数。六（16分）设矩阵，（1）求可逆阵，使得为对角阵；（2）求解：（1）的特征多项式10所以A的全部特征值为：-1，-1，1当时解方程组，对应的特征向量为：当时解方程组，对应的特征向量为：令，此时有为对角阵。（2）当为奇数时当为偶数时七（4分）设n阶方阵满足，证明10相似于一个对角阵。证明：设的特征值为，则有，得又所以另一方面所以有由知的各列是的属于的特征向量，且线性无关的特征向量的个数为又

5、由知的各列是的属于的特征向量，且线性无关的特征向量的个数为所以的线性无关的特征向量的共有个，即有n个向性无关的特征向量，故可相似于一个对角阵。10