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1、卷九一.填空题（每小题4分，共40分）1.已知，则.2.设三阶矩阵的按列分块阵为,若,则.3.阶行列式.4.设,则所有元素的代数余子式之和等于.5.设,矩阵满足,则.6.设矩阵满足,其中是的伴随矩阵,是的转置矩阵.若,则.7.设向量可用向量组线性表出,但不能用线性表出,则向量组与.(填:“等价”或“不等价”).8.设方程组只有零解,则应满足的条件是.9.设阶非单位矩阵的秩满足，则有特征值.710.已知二次型的秩为2,则参数.二(10分).已知向量组求该向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.三（10分）.设非齐次线性方程组为求为何
2、值时,此方程组有惟一解;无解或有无穷多个解,并在有解时,求出其解或通解.四（10分）.已知矩阵,向量是的一个特征向量.求的值,以及行列式的值.五（10分）.设矩阵.求可逆矩阵,使得为对角矩阵,并求出,其中是任意正整数.六（12分）.设阶矩阵求和,并用表示七（8分）.设阶实对称矩阵有相同的特征值,证明与相似.7参考答案一．填空题（每小题4分，共40分.）1.已知，则10.2.设满足.将按列分块为,则26.3.阶行列式.4.设,则行列式所有元素的代数余子式之和等于.5.设矩阵,矩阵满足,其中是3阶单位矩阵,则.6.设矩阵满足,其中是的伴随矩阵,是的转置矩阵.若,则.7
3、.设向量可用向量组线性表出,但不能用向量组7线性表出,则向量组与等价.(填:“等价”或“不等价”).8.设齐次线性方程组只有零解,则应满足的条件是.9.设阶矩阵的秩满足,且.则有特征值1.10.已知二次型的秩为2,则参数.二(10分).已知向量组求该向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.解令.矩阵的秩为.一个极大线性无关组为..三(10分).设非齐次线性方程组为求为何值时,此方程组有惟一解;无解或有无穷多个解.并在有解时,求出其解或通解.解.(1)当且时,方程组有惟一解,解为7(2)当时,方程组为其增广矩阵,方程组无解.(3)当
4、时,方程组为增广矩阵.通解为四(10分).已知矩阵,向量是的一个特征向量.求的值,以及行列式的值.解设对应于的特征值为,则于是也是的特征向量.由,求得.的特征多项式为7,于是的特征值为,从而的特征值为,故.五(10分).设矩阵.求可逆矩阵,使得为对角矩阵,并求出,其中是任意正整数.解的特征多项式为于是的特征值为.当时,解方程组,得特征向量.当,解方程组,得两个线性无关的特征向量:.令,则有.故.六(12分).设阶矩阵求,7并用表示.解.其中.从而有七(8分).设都是阶实对称矩阵,且它们具有相同的特征值,证明与相似.证明设的特征值为,由于它们都是实对称矩阵,故存在可
5、逆矩阵,使得相似于同一个对角矩阵:.因此,由得.令,则因均可逆,故可逆,且,从而即与相似.7
