数学竞赛中与绝对值有关的闻题

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1、10中等数学医囹数学竞赛中与绝对值有关的闻题薛党鹏(陕西省西安市经开第一中学，710018)中图分类号：0122．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2016)02—0010—04在高考与竞赛中，与绝对值有关的题目小值点为n+，且时有出现．本文通过一些典型题目的分析，介n_厂()i=∑n一∑绍处理含有绝对值符号的问题的常用方法．(2)当n=2k(k∈Z+)时，区间[Ⅱ，n]1利用绝对值的几何意义转化上的每—个点均为-厂()的最小值，且n由绝对值的定义，易知l口一bI表示数轴)∑n一∑上实数0、6所对应的点之间的距离．特别地，例2图1是

2、一个工厂区的地图，一条lⅡI表示数轴上实数口所对应的点到原点的公路(粗线)通过该地区，七个工厂，，4，距离．灵活运用绝对值的这一几何意义，往往⋯可以使问题得到简化．，4，分布在公路两侧，由一些小路(细线)与公路相连．现要在公路上设一个长途汽车例1求函数站，车站到各工厂(沿公路、小路走)的距离I厂()=l一1l+l一2I+⋯+I一10I和越小越好．的最小值．Ij(2012，全国高中数学联赛天津赛区预赛)【分析】由绝对值的几何意义，知∑I一I=l表示数轴上所对应的点与0(i=1，2，⋯，n)所对应的点距离之和．易知，当所对应的点在0所对应的点落在正

3、中间的点(n：2k+l(∈N)时)或落在中间两个点之间(n=2kl(∈Z+)时)，距离之和最小．问：(1)这个车站设立在什么地方最好?当∈[5，6]时，)取得最小值25．(2)证明你的结论．将例1予以推广，不难得到(3)若在点P又建了一个工厂，并且沿结论1设0≤≤⋯≤口．对于函数着图上的虚线修了一条小路，此时，车站设在．厂()：I一日I，什么地方好?(1998，北京市中学生数学竞赛)(1)当n=2k+1(∈N)时，f()的最【分析】最佳的车站位置即为使得七个工厂与车站距离之和最小的点．收稿日期：2015—04—172016年第2期由于各厂沿小路

4、到公路路口的路程是确为ab≤O，右边为ab>10．定的，从而，只需考虑五个小路口F、、D、c、例3已知实数，：，⋯，10满足1n1n曰到车站的距离之和．可将问题转化为数学∑—lI≤4，∑一2l≤6．问题．设E、、c、B四点与点F的相距路程分求水1，2，⋯，XlO的刚平半均列值但．·1⋯2别为n、6、C、d．显然，公路的曲直并不影响问(2012，浙江省高中数学竞赛)题，为此，可将公路“拉直”，并以F为原点建【分析】由题设条件知立数轴．设车站位置为点，所对应的实数．1n．1o=5∑[(一1)一(一2)]l为．则问题转化为求函数-厂()=2Il+I一

5、0l+2Ix—bJ+≤∑Ix一1I+∑Ix￡一2I≤4+6=10I一CI+I一dJ取得最小值时的值．∑Ixf一1l=4，∑Ix一2I=6分拆函数．厂()解析式中的绝对值式，使1≤≤2其系数均变为1，并按照绝对值式零点由小到大的顺序排列，得到元=1+(1)=1·4·．厂()=Il+Il+I一口l+I一bI+例4设实数1，2，⋯，l99l满足条件l一bl+I一CI+I一dI．■1一I=1991．上述和式中，共有七个加式，中间一个为⋯Ix—bl，故由结论1，知当=b时，()取得而=∑(=12一，1991)．最小值．所以，将车站设置在D处最为合理．试求

6、∑ly一y川I的最大值．假如在点P处又建了一个工厂，则问题转化为求函数(第25届全苏联数学奥林匹克)g(x=3lI+l一f+2l一bI+【分析】对于k=1，2，⋯，1990，有l一cI+I一dl一‰-=砉1k+1=ll+II+II+I一0I+I一bI+I一bI+I一cI+I一dI=l(+)f的最小值点．由结论1，知函数g()的最小值点为区≤丽l1．间[n，b]中的任意数．故此时将车站设在点E与D之间最佳．故∑ly一2利用不等式进行放缩1≤≤∑flilxk+处理含有绝对值符号的问题时，若能灵1990活应用不等式=矿。-)1-1991)ll口J—I

7、bII≤l口+bI≤10I+IbI，)往往可以使问题大大简化．值得指出的是在≤l991(1一丽1)=199o．不等式①中，等号成立的充分必要条件左边在=1991，2=3=⋯=199l=0时取12中等数学最大值990．知当且仅当：时，函数)取得最大．3借助分类讨论去掉绝对值符号按照此方法，不难得到更一般的结论．由绝对值的定义知结论2设函数)=∑Ix一。I，其：J_，≥0；中，、口∈R，i=1，2，⋯，n，∈R．则【一，<0．通过分类讨论去掉绝对值符号，这是处(1)当∑>o时，_厂()的图像为连续理绝对值问题最基本、最常用的方法．的折线，两侧射线向

8、上方无限延伸，函数_厂()例5求函数有最小值，但无最大值，且_厂()的最小值为fix、=Ix+21+Ix—ll+I2～1I—I5一2lrain{0)，