(初中数学竞赛希望杯)和绝对值有关的问题

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1、和绝对值有关的问题知识定位本讲义要求学生：1.理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用知识梳理一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作

2、a

3、。(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。也可以写成：说明：（Ⅰ）

4、a

5、≥0即

6、a

7、是一个非负数；（Ⅱ）

8、a

9、概念中蕴含分类讨论思想。例题精讲【试题来源】【题目】已知a、b、c在

10、数轴上位置如图：则代数式

11、a

12、+

13、a+b

14、+

15、c-a

16、-

17、b-c

18、的值等于（）【选项】A．-3aB．2c－aC．2a－2bD．b【答案】A【解析】

19、a

20、+

21、a+b

22、+

23、c-a

24、-

25、b-c

26、=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值

27、符号，完成化简。此题的求解使用了数形结合思想。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：，，且，那么的值（）【选项】A．是正数　　　　B．是负数　　　C．是零　　　D．不能确定符号【答案】C【解析】由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题

28、的意识。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？【答案】（1）6和-2或-6和2；（2）12和4或-12和-4【解析】分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x，乙数为

29、y由题意得：，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即x<0，y>0，则4y=8，所以y=2,x=-6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x>0，y<0，则-4y=8，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x<0，y<0，则-2y=8，所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧，即x>0，y>0，则2y=8，所以y=4,x=12此题的解答使用了分类讨论的思想。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来

30、源】【题目】方程的解的个数是（）【选项】A．1个B．2个C．3个D．无穷多个【解析】分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知

31、ab－2

32、与

33、a－1

34、互为相互数，试求下式的值．【解析】分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：

35、ab－2

36、=

37、a－1

38、=0，解得：

39、a=1,b=2于是绝对值的非负性，是处理绝对值问题时，常常需要想到的。在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考，如果题目变成求值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继续探究。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与，3与5，与，与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____.（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示

40、的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为（3）结合数轴求得的最小值为，取得最小值时x的取值范围为______.（4）满足的的取值范围为【答案】（1）相等；（2）；（3）5；3≤x≤2；（4）x<-4或x>-1【解析】分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。当x<-1时，距离为-x-1,当-1