归类解析与[x]”有关的数学竞赛题.doc

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1、归类解析与“[x]”有关的数学竞赛题“[x]”是一种特殊的数学符号，它在各类数学竞赛中屡见不鲜，本文结合全国各省市的数学竞赛题，归纳出与“[x]”有关的三类常见题型，供同学们学习时参考．一、有关的运算例1设a是有理数，用[a]表示不超过a的最大整数，如[1.7]＝1，[－1]＝－1，[0]＝0，[－1.2]＝－2，则在以下四个结论中，正确的是()(A)[a]＋[－a]＝0(B)[a]＋[－a]＝0或1(C)[a]＋[－a]≠0(D)[a]＋[－a]＝0或－1(2006年希望杯数学竞赛初二第1试试题)解依题意，令a＝1.7，则[a]＋[－a]＝[1.7]＋[－1.7]＝1－2＝－1；令a＝－1

2、，则[a]＋[－a]＝－1＋l＝0．∴[a]＋[－a]＝0或－1．即选D．例2设[x]表示不大于x的最大整数，如[3.4]＝3，[2]＝2，[－3.4]＝－4，则下列结论中，不成立的有()个①[x]≤x<[x]＋1；②x－1<[x]≤x；③[－x]＝－[x]；④[2x]＝2[x]；⑤[x]＋[1－x]＝1(A)4(B)3(C)2(D)1(2004年五羊杯数学竞赛初三试题)解依题意，令x＝，则[x]＝0，[2x]＝1，[－x]＝－1，[1－x]＝0．∴③④⑤均不成立，即选B．二、求代数式的值例3规定[a]表示不超过a的最大整数．当x＝－1时，代数式2mx3－3nx＋6的值为16，则[m－n]＝

3、()(A)－4(B)－3(C)3(D)4(2004年希望杯数学竞赛初二第2试试题)将x＝－1代入2mx3－3nx＋6＝16得3n－2m＝10，故选Ａ．例4[x]表示不大于x的最大整数，如[3.15]＝3，[－2.7]＝－3，[4]＝4，则()(A)1001(B)2003(C)2004(D)1002(2004年希望杯数学竞赛初二第1试试题)故选B．例5设[x]表示不大于x的最大整数，如[3.4]＝[3.7]＝[3]＝3，　若，则[S]＝_______(2006年五羊杯数学竞赛初三试题)　　例6对于实数a，令[a]表示不超过a的最大整数，例如[3.1]＝3，[－1.5]＝－2，[0.7]＝0，令

4、f(x)＝，那么[f(2)]＋[f(3)]＋…＋[f(100)]＝_______．(2004年希望杯数学竞赛初一第1试试题)　　三、解方程问题例7对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数，如[3.14]＝3，[－7.59]＝－8，则满足关系式[]＝4的x的整数值有()(A)6个(B)5个(C)4个(D)3个(2006年希望杯数学竞赛初一第1试试题)故选D．例8已知0

5、例9用[x]表示不大于x的最大整数，如[1.7]＝l，[0.25]＝0，[－3.4]＝－4，则满足[3.8x]＝[3.8]x＋l的自然数x有()个(A)4(B)3(C)2(D)I(2007年五羊杯数学竞赛初二试题)解得1.25≤x<2.5．故满足题设方程的自然数x只有x＝2，故选D．例10已知x，y，z满足x＋[y]＋[z]＝－0.9①，[x]＋{y}＋z＝0.2②，{x}＋y＋[z]＝1.3③，对于数a，[a]表示不大于a的最大整数，{a}＝a－[a]，求x，y，z的值．(2004年第9届“华罗庚杯”少年数学邀请赛初一组第1试试题)综上可见，尽管与“[x]”有关的竞赛题多种多样，但万变不离

6、其宗，只要我们紧扣[x]的定义，活用其性质，有关问题便能迎刃而解．