[精品]有关函数概念及其性质的归类与反思.doc

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1、有关函数概念及其性质的归类与反思宜宾市商业职业中等专业学校韩世斌内容摘要：函数是数学知识的重要内容，函数的系统学习，对增强学生的辩证思维能力和分析解决实际问题的能力大有益处。本文拟通过对函数概念及其性质归类的学习，予以反思，目的是通过函数的进一步认识与再学习，强化学生的逻辑思维能力、空间想象能力、计算能力、分析解决实际问题的能力。世界上的事物变化不是各自独立的，更不是一层不变的，一个事物的变化常常依赖于另外一个或几个事物的变化。有鉴于此，来源于生产生活实践中的数学便蕴涵产生了函数的概念。函数主要是研究变量与变量Z间的对应关系，

2、职高数学关于函数的主要内容，是在初中学过基础上的进一步的提高与再认识，函数知识是数学和其他若业课程学习的基础，并贯穿于整个数学课程之中。职高数学教材(上册)第三章函数部分，主要包括函数定义、函数的定义域及其表示法，函数的单调性、奇偶性的定义及其图像特征，函数的实际应用等内容，归纳为：一、关于函数定义；初中阶段是：针对“两个变量和一个对应法则”定义。y是X的函数O按确定的对应法则，对X在某范围内的每一个值,y有唯一确定的值与它对应。它是一种单向对应。高中阶段是：将初中定义中对应法则设为f,将x的取值范围设为集合D,y在集合A取值

3、，这样高中函数定义：设D,A是非空数集，按某个确定的对应法则f,对D中任意一个数x,在A中都有唯一确定的数f(x)和它对应，就称f：DtA为集合D到A的函数。记为y=f(x),其中f是对应法则；D定义域；An值域{yly=f(x)}o这里隐含：这个对应是单向对应，反向这里则不管，从而允许“多对一”，也允许A中元素“轮空”；但不允许“一对多”。注意：1、函数由其定义域和对应法则两部分确定，缺一不可。只要这两部分都相同的就是同一函数，与两变量所选设字母无关。如(1)y=x?与s=t?是同一函数；(2)y=l与y=x°不是同一函数。

4、2、y与f(x)是等价的，可灵活选用；f(a)o当x=a时，函数y的值。3^定义域可表示为{xly=f(x)},值域可表示为{yly=f(x)}04、函数y=f(x)的表示方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图像法。实际运用时常常将三者结合起来，即要将三者综合和转化。二、关于函数定义域求法：1、有特别说明的，要以“说明”为准，且对应法则仅对“说明”适用。2、无特别说明的，就是使函数表达式有意义的自变量取值的全体组成的集合。如，偶次根式：被开方数20；分式：分母工0；零和负整数指数幕:底数工0；对数式：真数＞0,底数＞0且底

5、数工1；三、关于变量替换求解析式、定义域。(针对学有能力的学生)1、变量替换求解析式方法：函数式两边可作相同替换(“整体”也可)，但必须在定义域内。例1.己知二次函数f(x)满足f(x+l)—f(x)=2x,且f(0)=1,求f(x)的表达式？解：设二次函数f(x)=ax2+bx+c,由f(O)=l得c=l.•・•f(x+1)—f(x)=2x・••a(x+1)2+b(x+l)+l-(ax2+bx+l)=2x恒成立.即2ax+a+b=2x恒成立，•••｛；：；：•••｛巴答案f(x)=x2—x+1・例2・若函数/(2x+1)=x

6、2-2x,求/⑶；f(X+l)0换元法，即换整体：令2x+l=t,则x二匸!，.丁(/)=口)2_2(匸!)=,卫岸.f(3)=-l,f(x+l)=2224244法二：要得/(3),只需/(2X+1沖X—J1。要得f(x+l),只需/(2兀+1)中无二^号。即观察，配凑x的替换YYY1解：f(3)=f(2xl+I)=l2-2xl=-l；f(x+1)=f(2x-+1)=(-)2-2x-=-%2-x2224这里注意：变量替换求解析式可整体换(必要时换元)，也可X单独换。2、变量替换求定义域：始终针对自变量，转化之关键是f下标的范围

7、不变，因对应法则f没变。例3、设函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(眉-2)的定义域为多少？解：：/(x)中0VxS1/(泯一2)中，0

8、J4f(x2)(即自变量大小与函数值大小相反)例4、已知f(x)=A±l.求证：他)在

9、(-8,1),(1,+oo)上都为减函数X-17证明:f(x)=l+——。先证f(x)在(-OO,1)上为减函数。设X]VX2<1贝J兀—1f(x1)-f(X2)=(1+-2-)-(1+-2-)=_2竖-勺)_>0・•.f(x])>f(x2)・••f(x)在(-00,1)±为