与绝对值相关的竞赛题

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1、2中等数学●数学活动课程讲座●与绝对值相关的竞赛题刘清泉(浙江省宁波市镇海蛟川书院，315200)中豳分类号：0122．1文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)06～0002—04(本讲适合初中)—6，一7共七次．所以，亮红灯七次．绝对值是初中代数中的一个基本概念，(2)事实上，电子跳蚤跳完第四次的位又是初中数学竞赛中的一个重要概念．在解置是原点，已经亮了四次红灯(包括起跳决代数式化简求值、方程(组)、不等式(组)时)，后面是每次跳奇数步，亮红灯一次．所和函数最值等问题中有着广泛的应用．利用以，要使红灯亮十次，则电子跳蚤得跳4+绝对值概念在解题过程中常会

2、涉及到分类讨2×6—1=15次，此时，电子跳蚤离原点的论、化归及数形结合等数学思想．距离S=I一2一l+2—3+4—5+⋯一l5l1与求值、化简相关=J一2+l×7—15J=10．例1有一个电子跳蚤在数轴上跳来跳例2将1，2，⋯，200这200个数任意分去，并且跳到负数亮一次红灯，跳到正数不亮为两组，每组100个数．将一组按由小到大的灯．起点是在表示数一2的点(记亮一次红顺序排列(记为口1<口2<⋯<口m)，另一组灯)，第一步向左跳1个长度单位，第二步向按由大到小的顺序排列(记为b。>b：>⋯>右跳2个长度单位，第三步向左跳3个长度6。。。)．试求I口I—bII+I口2

3、一b2l+⋯+Inl00一b10oI单位，第四步向右跳4个长度单位，依此类推．的值．(1)当跳到第十步时，电子跳蚤离原点【分析】要求lal一6lI+l口2一b2I+⋯+l口l00一bl00I的距离是多少?亮了几次红灯?的值，就要用到去绝对值的符号法则，就要判(2)若要使电子跳蚤亮十次红灯，则电定代数式的任何一项Ia一bI(Ji}=1，2，⋯，子跳蚤至少需要跳几次?此时，离原点的距100)中的口、b的大小．离是多少?解先证明：对于代数式的任何一项【分析】从数轴上看，I17,I表示数口的点IⅡ一6^f(k=1，2，⋯，l0o)到原点的距离，亮红灯的次数是由电子跳蚤中的o、b

4、，较大的数一定大于100，较小的每次跳的结果出现负数的次数决定(出发点数一定不大于100．按约定记亮一次红灯)．(1)若a≤100，且6I≤100，则由解(1)注意到口I<口2<⋯<口^≤100S=l一2一l+2—3+4—5+⋯一9+l0f及100≥b>bI+l>⋯>b100=I一2+l×5I=3．得Ⅱl，口2，⋯，aI，bI，b川，⋯，b,oo共101个数故出现负数为一2，一3，一1，一4，一5，都不大于100，这是不可能的；收稿日期：2009—11～20(2)若>100，且bI>100，则由2010年第6期nl00>血99>⋯>口+l>n>100解由a+b=1，得及

5、bl>b2>⋯>b>100b=1一Ⅱ，且一1≤a≤1，一1≤b≤1．得bl，b2，⋯，b，。，a川，⋯，0lo0共101个数南I1—2a+bI+2r上+1=b一a，得都大于100，这也是不可能的．I1—20+bI：b一a一20—1于是，代数式中100个绝对值=(1一el,2)一a2—20—1=一2a一2al6tl—bII，I口2一b2I，⋯，Ialo0一bl0oI从而，一2n一2a≥0=一1≤0≤0．中较小的数为1，2，⋯，100，较大的数为101，故1—2a+b≥0．102，⋯，200．因此，1—2a+b=一2a一2a，即故原式1+b=一20=一2(1一b)．=(10

6、1+102+⋯+200)一(1+2+⋯+100)整理得2b一b一3=0．=l0000．例3证明：解得b=一1(另一根b=÷舍去)．厶A=lIx-yl++)，一l+Ix—Yl++y+把b：一1代人1+b=一2a中，得=4max{，y，z}，a=0．其中，max{，y，z}表示、Y、z这i个数中的所以，a+b=一1．最大者．例5解不等式【分析】欲证的等式中含有三个绝对值II一2I一6I+I3+2I≥8．符号，且其中一个在另一个内，要把绝对值符【分析】运用“零点讨论法”将不等式的号去掉似乎较为困难，但等式的另一边给出左边转化为常见的一元一次不等式分类讨论了提示，如果为、Y、z

7、中的最大者，即证得以求解．A=4x，依次再考虑Y、z是它们中的最大值解由一2=0，3x+2=0，Ix一2I一6=0，即可．得零点证明(1)当ly，≥时，A=l—Y++Y一2zI+一Y++Y+2z=2，=一÷，：8，=一4．=2x一2z+2+2z=4x：(2)当y≥z，y>lx时，(1)当≥8时，4x一6≥8，解得≥／，A=IY一++Y一2zI+Y一++Y+2则≥8；=2y一2z+2_y+2z=4y；(2)当2≤<8时，2+10≥8，解得(3)当≥，Z1>y时，≥一1，贝02≤<8；因Ix—YI++Y=2max{，Y}≤2z，所以，A=2z