《1.3.2函数的极值与导数》同步练习5

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1、《函数的极值与导数》同步练习5基础巩固强化1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)A．无极大值点、有四个极小值点B．有一个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点2．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a、b∈R.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．3．已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)若a＝－1

2、，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．答案基础巩固强化1．[答案]　C[解析]　设f′(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当x0，f(x)为增函数，当x1

3、f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．2．[解析]　∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∵f′(1)＝2a，∴3＋2a＋b＝2a，∵f′(2)＝－b，∴12＋4a＋b＝－b，∴a＝－，b＝－3，∴f(x)＝x3－x2－3x＋1，f′(x)＝3x2－3x－3，∴f(1)＝－，f′(1)＝－3，∴切线方程为y－(－)＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.(2)∵g(x)＝(

4、3x2－3x－3)e－x，∴g′(x)＝(6x－3)e－x＋(3x2－3x－3)·(－e－x)，∴g′(x)＝－3x(x－3)e－x，∴当00，当x>3时，g′(x)<0，当x<0时，g′(x)<0，∴g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，所以g极小(x)＝g(0)＝－3，g极大(x)＝g(3)＝15e－3.3．[解析]　(1)由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f′(x)＝x－＝，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，当x∈(0，1)

5、时，f′(x)<0，因此函数f(x)在(0，1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则x＝1是f(x)的极小值点，所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)＝.(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，则F′(x)＝x＋－2x2＝＝，当x>1时，F′(x)<0，故f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，又F(1)＝－<0，∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立，即f(x)

6、数g(x)图象的下方．