《1.3.2 利用导数研究函数的极值(1)》同步练习5

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1、《1.3.2利用导数研究函数的极值(1)》同步练习5一、选择题1.已知函数f(x)在点x0处连续,下列命题中,正确的是(  )A.导数为零的点一定是极值点B.如果在点x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极小值C.如果在点x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值D.如果在点x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极大值[答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点,例如f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,但x=0不是f(x)的极值点,故A错;由极值的定义可知

2、C正确,故应选C.2.函数y=1+3x-x3有(  )A.极小值-2,极大值2B.极小值-2,极大值3C.极小值-1,极大值1D.极小值-1,极大值3[答案] D[解析] y′=3-3x2=3(1-x)(1+x)令y′=0,解得x1=-1,x2=1当x<-1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数,当-10,函数y=1+3x-x3是增函数,当x>1时,y′<0,函数y=1+3x-x3是减函数,∴当x=-1时,函数有极小值,y极小=-1.当x=1时,函数有极大值,y极大=3.3.设x0为f(x)的极值点,则下列说法正确的是(  )A.必有f

3、′(x0)=0B.f′(x0)不存在C.f′(x0)=0或f′(x0)不存在D.f′(x0)存在但可能不为0[答案] C[解析] 如:y=

4、x

5、,在x=0时取得极小值,但f′(0)不存在.4.对于可导函数,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 只有这一点导数值为0,且两侧导数值异号才是充要条件.5.对于函数f(x)=x3-3x2,给出命题:①f(x)是增函数,无极值;②f(x)是减函数,无极值;③f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞),递减区间为(0,

6、2);④f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值.其中正确的命题有(  )A.1个        B.2个C.3个D.4个[答案] B[解析] f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)>0,得x>2或x<0,令f′(x)<0,得0

7、1,函数f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,∴当x=-1时,取极大值-2,当x=1时,取极小值2.7.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点(  )A.1个B.2个C.3个D.4个[答案] A[解析] 由f′(x)的图象可知,函数f(x)在区间(a,b)内,先增,再减,再增,最后再减,故函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点.8.已知函数y=x-ln(1+x2),则函数y的极值情况是(  )A.有极小值B.

8、有极大值C.既有极大值又有极小值D.无极值[答案] D[解析] ∵y′=1-(x2+1)′=1-=令y′=0得x=1,当x>1时,y′>0,当x<1时,y′>0,∴函数无极值,故应选D.9.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点,则函数f(x)的极值是(  )A.极大值为,极小值为0B.极大值为0,极小值为C.极大值为0,极小值为-D.极大值为-,极小值为0[答案] A[解析] 由题意得,f(1)=0,∴p+q=1①f′(1)=0,∴2p+q=3②由①②得p=2,q=-1.∴f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1=(

9、3x-1)(x-1),令f′(x)=0,得x=或x=1,极大值f=,极小值f(1)=0.10.下列函数中,x=0是极值点的是(  )A.y=-x3B.y=cos2xC.y=tanx-xD.y=[答案] B[解析] y=cos2x=,y′=-sin2x,x=0是y′=0的根且在x=0附近,y′左正右负,∴x=0是函数的极大值点.二、填空题11.函数y=的极大值为______,极小值为______.[答案] 1-1[解析] y′=,令y′>0得-11或x<-1,∴当x=-1时,取极小值-1,当x=1时,取极大值1.12.函数y=x3-6x

10、+a的极大值为____________

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