专题六第二讲空间角与距离

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1、第二讲　空间角与距离要点知识整合1．异面直线所成角的取值范围是(0°，90°]，求异面直线所成角的基本方法主要有以下几种：(1)平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线等一些特殊位置进行平移；(2)补体法：将几何体补成特殊的几何体(如正方体)，在补成的几何体中找出异面直线所成的角；(3)证明两条异面直线垂直，即所成角为90°；(1)求二面角的关键是作出二面角的平面角，作出二面角的平面角后，再解三角形，求出平面角的大小．作二面角的平面角的主要方法为：①根据定义直接作出二面角的平面角；②

2、利用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角；③通过作与棱垂直的平面，找出二面角的平面角．(2)向量法：设n1，n2是二面角α－l－β的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，热点突破探究典例精析题型一空间角的求解问题例1【题后拓展】(1)计算空间角的大小，其一般方法是根据定义，通过作辅助线或辅助面构造出要求的角θ，并作出含有角θ的三角形，从而通过解三角形求得角θ的值，其步骤是：“一作、二证、三计算”．(2)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：①建立恰当的空间直角坐标系．②求出相关点的坐标．③写出向量坐标．④

3、结合公式进行论证、计算．⑤转化为几何结论．变式训练1．已知四棱锥P－ABCD的直观图(如图(1))及左视图(如图(2))，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB.(1)求证：AD⊥PB；(2)求异面直线PD与AB所成角的余弦值．解：(1)证明：取AB的中点O，连接PO.因为PA＝PB，则PO⊥AB.又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO⊂平面PAB，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AD.而AD⊥AB，PO∩AB＝O，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.(2)过

4、点O作AD的平行线交DC于点E，以OE、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，D(2，－1,0)，B(0,1,0)，C(2,1,0)．由已知左视图知PO＝2，故P(0,0,2)，(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AA1＝AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE＝3EB1.(1)证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；(2)设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1－AC1－B1的大小．例2【解】　法

5、一：(1)证明：连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.由题知四边形AA1B1B为正方形，则A1B＝AB1，且AF＝FB1.又AE＝3EB1，故FE＝EB1.又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1.作CG⊥AB，G为垂足，由AC＝BC知，G为AB的中点．因为底面A1B1C1⊥平面AA1C1C，故B1H⊥平面AA1C1C.过H作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1－AC1－B1的平面角．【题后拓展】求二面角的题目应注意：(1)已知两个平面垂直时，过其

6、中一个平面内的一点作交线的垂线是常用的处理办法；(2)在已经确定了平面的垂线时，由三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角是非常简捷的方法．这样通常可以把所求二面角的平面角转化到一个直角三角形中，使得求解比较容易．变式训练解：法一：(1)如图，取CD中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.所以MO∥AB，A、B、O、M四点共面．延长AM，BO相交于E,则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角．题型二空间距离的求解例3(2010年高考广东卷)如图，是半径为a的半圆，

7、AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB＝a.(1)证明：EB⊥FD；(2)求点B到平面FED的距离．(2)法一：如图【题后拓展】求点到面的距离优先考虑的方法是作出垂线段，再求该线段的长．当不易作出垂线段时，可考虑转移法或利用等体积法求解．当然，还可利用向量法，将问题转化为求向量的模．变式训练3.(2009年高考浙江卷)如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝

8、10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并分别求点M到OA，OB的距离．解：(1)证明：如图，取PE的中点为H，连结HG，HF.因为点E、O、G、H分别是PA、AC、OC、PE的中点，所以HG∥OE，HF∥EB.因此平面FGH∥平面BOE.因为FG在平面FGH内，所以FG∥平面BOE.(2)在平面OAP内