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1、个人收集整理勿做商业用途坐标法求空间角与距离（教师版)1.基本概念：1.1.向量的数量积和坐标运算是两个非零向量，它们的夹角为，则数叫做与的数量积（或内积），记作,即其几何意义是的长度与在的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：若，则①；②;③④1．2法向量①直线的法向量：在直线上取一个定向量，则与垂直的非零向量叫直线的法向量．②平面的法向量：与平面垂直的非零向量叫平面的法向量．、一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，推导平面法向量的方法如下：在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量［或，或]，在平面内任找两个不共线的向量。
2、由，得且ABCDxyA1B1C1D1z图1，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到.有时为了需要,也求法向量上的单位法向量，则。例1在棱长为1的正方体中，求平面的法向量和单位法向量.个人收集整理勿做商业用途解：建立空间直角坐标系，如图1，则，。设平面的法向量.得，。又面,得,。有，得。，1.3.异面直线所成的角图1分别在直线上取定向量则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角（如图1所示），则1.4.异面直线的距离分别在直线上取定向量求与向量都垂直的向量，分别在上各取一个定点，则异面直线的距离等于在上的射影长，即。证明：设为
3、公垂线段，取（如图1所示），则图1图2设直线所成的角为，显然个人收集整理勿做商业用途1.5直线与平面所成的角在上取定,求平面的法向量（如图2所示）,再求，则为所求的角.图3甲1.6．二面角方法一:构造二面角的两个半平面的法向量（都取向上的方向，如图3所示），则①若二面角是“钝角型"的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量的夹角的补角,即②若二面角是“锐角型”的如图3乙所示图3乙，那么其大小等于两法向量的夹角，即图4③方法二:在二面角的棱上确定两个点,过分别在平面内求出与垂直的向量（如图4所示），则二面角的大小等于向量的夹角，即1
4、。7.平面外一点到平面的距离图5先求出平面的法向量，在平面内任取一定点，则点到平面的距离等于在上的射影长，即。。个人收集整理勿做商业用途2.坐标法所谓坐标法,就是建立适当的空间直角坐标系，把向量用坐标来表示，用向量的坐标形式进行向量的运算，以达到解决问题的目的。解题的关键是根据几何体的特点，选取恰当的坐标原点和坐标轴,一般来说，长方体、正方体中较为容易建立坐标系．图6[例2]右图6在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=4,AD=3,AA1=2。E、F分别是AB、BC上的点，且EB=FB=1。（1）求二面角C—DE—C
5、1的正切值;(2)求直线EC1与FD1所成的角的余弦值。解：（I）解法一：以为原点，分别为轴，轴,轴的正向建立空间直角坐标系,则有,于是，，设向量与平面垂直，则有其中取,则是一个与平面垂直的向量,向量与平面垂直,与所成的角为二面角的平面角（Ⅰ）解法二:令点在上,且,可设点的坐标为，则个人收集整理勿做商业用途再令点在上,且,设点的坐标为，则（II）设与所成角为，则、如果题中几何体不是长方体或正方体，则考察几何体中的线线垂直、线面垂直及面面垂直关系.［例3］如图7已知正三棱柱的棱长为2，底面边长为1，是的中点。图7（1）在直线上求
6、一点，使;(2)当时，求点到平面的距离.(3）求出与侧面所成的角。图8。(1）解：以分别为轴、轴，垂直于的为轴建立空间直角坐标系，设，则有。于是个人收集整理勿做商业用途(2）解：当时，由(1）知，则，设向量与平面垂直，则有取向量在上的射影长即为到平面的距离，设为,于是(3）设平面的一个法向量为，则有取，则故与侧面所成的角为：。个人收集整理勿做商业用途[例4]在三棱椎中,是边长为4的正三角形，平面平面，，为的中点.（1）求证;图9（2)求二面角的大小；（3）求点到平面的距离。分析：如图9以中点为坐标原点,以、、的正向分别为轴、轴
7、、轴建立空间直角坐标系即可得出各相关点的坐标．（解略）图10 ［例５］把正方形沿对角线折起成直二面角,点，分别是，的中点，点是原正方形的中心，求(１)的长;（２)折起后的大小分析：如图11，以点为坐标原点，以、、的正向分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为即可得出各相关点的坐标．（解略）［例6］（2010江西）20.如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD,AB平面BCD，。（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。【解析】本题以图形拼折为载体
8、主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力解法一：(1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面。延长AM、BO相交
