坐标法求空间角与距离

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1、坐标法求空间角与距离1．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BDE的距离为(　　)A．2B.C.D．12.如图，在四棱柱中，侧棱,,,,且点M和N分别为的中点.(I)求证：平面；(II)求直线BC与平面所成角的正弦值；(III)求二面角的正弦值.3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，动点P在棱A1B1上．(1)当A1P＝A1B1时，求CP与平面D1DCC1所成角的正弦值；(2)当A1P＝A1B1时，求点C到平面D1DP的距离．4.如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD

2、，AB⊥平面BCD，AB＝2.(1)求点A到平面MBC的距离；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．空间向量的应用·求空间角与距离答案1．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BDE的距离为(　　)A．2B.C.D．1解：如图，连接AC，交BD于O，连接OE，在△CC1A中，易证OE∥AC1.从而AC1∥平面BDE，∴直线AC1到平面BDE的距离即为点A到平面BDE的距离，设为h.由等体积法，得VABDE＝S△BDE×h＝VEABD＝S△ABD×EC＝××2×2＝.又∵在△BDE中，BD＝2，BE＝DE

3、＝，∴S△BDE＝×2×2＝2.∴h＝1.故选D.2.【2015高考天津，理17】（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱,,,,且点M和N分别为的中点.(I)求证：平面；(II)求直线BC与平面所成角的正弦值；（自编）(III)求二面角的正弦值.【答案】(I)见解析；(III).【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，，又因为分别为和的中点，得.(I)证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，由此可得，，又因为直线平面，所以平面(II)，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得3.如图，正方体ABCDA1B1C

4、1D1的棱长为4，动点P在棱A1B1上．(1)当A1P＝A1B1时，求CP与平面D1DCC1所成角的正弦值；(2)当A1P＝A1B1时，求点C到平面D1DP的距离．解：如图，以D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系Dxyz.由题设知正方体棱长为4，则D(0，0，0)，A(4，0，0)，B1(4，4，4)，A1(4，0，4)，D1(0，0，4)，C(0，4，0)．(1)由题设可得P(4，2，4)，故＝(4，－2，4)．∵AD⊥平面D1DCC1，∴＝(4，0，0)是平面D1DCC1的法向量，设所求角为θ，∴sinθ＝＝＝.∴CP与平面D1DCC1所成角的正弦值为.(2)∵＝(0

5、，4，0)，设平面D1DP的法向量n＝(x，y，z)，∵P(4，3，4)，＝(0，0，4)，＝(4，3，4)．则即令x＝－3，则y＝4.∴n的一个取值为(－3，4，0)．∴点C到平面D1DP的距离为d＝＝.4.如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.(1)求点A到平面MBC的距离；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．解：取CD中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.以O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．

6、易知OB＝OM＝，则各点坐标分别为O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)．(1)设平面MBC的一个法向量m＝(x，y，z)．∵＝(1，，0)，＝(0，，)，∴即取z＝1，则m＝(，－1，1)．又＝(0，0，－2)，∴点A到平面MBC的距离d＝＝＝.(2)设平面ACM的一个法向量n＝(x1，y1，z1)．∵＝(－1，0，)，＝(－1，－，2)，∴即取z1＝1，则n＝(，1，1)．又AB⊥平面BCD，∴是平面BCD的一个法向量．∴cos〈n，〉＝＝＝－.∴sin〈n，〉＝＝.∴平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值为.