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1、江苏省2014届一轮复习数学试题选编21：空间角与空间距离（教师版）一、解答题．如图,在正四棱柱中,,点是的中点,点在上,设二面角的大小为(1)当时,求的长;ABCNMD(2)当时,求的长.【答案】【命题意图】本小题主要考查空间向量的基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设,则各点的坐标为,所以.设平面DMN的法向量为,则,即.令是平面DMN的一个法向量.设平面A1DN的法向量为,则,即.令是平面A1DN的一个法向量.从而(1)因为,所以,解得.从而.所以.(2)因为,所以,因为,所以,解得.根据图形和(1)的结论可知,从而
2、CM的长为.第17页，共17页．如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900(1)求证:PC⊥BC(2)求点A到平面PBC的距离【答案】(1)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC,又BC⊥CD,∴BC⊥面PCD,∴BC⊥PC.(2)设点A到平面PBC的距离为h,．如图所示,是长方体,已知,,,是棱的中点,求直线与平面所成角的余弦值.【答案】解:以为坐标原点,为坐标轴,建立坐标系,则,,,设平面的一个法向量为由可得的一个值是,设直线与平面所成的角是,则,故直线与平面所成角的余弦是．如图,PA⊥平面ABCD,AD//B
3、C,∠ABC=90°,AB=BC=PA=1,AD=3,E是PB的中点.(1)求证:AE⊥平面PBC;(2)求二面角B-PC-D的余弦值.第17页，共17页PABCDE(第22题)【答案】(1)根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系,PABCDExyz则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,3,0),P(0,0,1),E(,0,),=(,0,),=(0,1,0),=(-1,0,1).因为·=0,·=0,所以⊥,⊥.所以AE⊥BC,AE⊥BP.因为BC,BP平面PBC,且BC∩BP=B,所以AE⊥平面PBC(2)设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则
4、n·=0,n·=0.因为=(-1,2,0),=(0,3,-1),所以-x+2y=0,3y-z=0.令x=2,则y=1,z=3.所以n=(2,1,3)是平面PCD的一个法向量因为AE⊥平面PBC,所以是平面PBC的法向量.所以cos<,n>==.由此可知,与n的夹角的余弦值为.第17页，共17页根据图形可知,二面角B-PC-D的余弦值为-．如图,在棱长为1的正方体A中,E、F分别为和的中点.(1)求异面直线AF和BE所成的角的余弦值:(2)求平面AC与平面BF所成的锐二面角:(3)若点P在正方形ABCD内部或其边界上,且EP∥平面BF,求EP的取值范围.【答案】解:(1)以D为
5、原点,DA,DC,DD1分别为轴,建立如图所示的直角坐标系,则,,,,第17页，共17页∴所求的锐二面角为(3)设(),由得即,当时,当时,∴,故EP的取值范围为．如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AB=BC=,BB1=3,D为A1C1的中点,F在线段AA1上.(1)AF为何值时,CF⊥平面B1DF?(2)设AF=1,求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.第17页，共17页ABCC1B1A1FD第17页，共17页2013江苏省高考压轴【答案】(1)因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,以B点为原点,BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如
6、图所示空间直角坐标系.ABCC1B1A1FDxyz因为AC=2,∠ABC=90º,所以AB=BC=,从而B(0,0,0),A,C,B1(0,0,3),A1,C1,D,E.所以,设AF=x,则F(,0,x),.,所以要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥B1F.由=2+x(x-3)=0,得x=1或x=2,故当AF=1或2时,CF⊥平面B1DF.(2)由(1)知平面ABC的法向量为n1=(0,0,1).设平面B1CF的法向量为,则由得令z=1得,所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．如图,圆锥的高,底面半径,为的中点,为母线的中点,为底面圆周上一点,满足.第17页，共1
7、7页(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求二面角的正弦值.OEDAFBP【答案】第17页，共17页．正三棱柱的所有棱长都为4,D为的中点.(1)求证:⊥平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】解:取BC中点O,连AO,∵为正三角形,∴,∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,取中点为,以O为原点,,,的方向为,轴的正方向,建立空间直角坐标系,则.∴,∵,.∴,,∴面(2)设平面的法向量为,.,∴,∴,,令,得为平面的一个法向量,由(1)知面,第17页，共17页∴为平面的法向量,,∴二面角的余弦值为．【
