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1、第一部分专题六第2讲空间角与距离(限时60分钟，满分100分)1.(本小题满分20分)如图，正方形ABCD所在的平面与平面四边形ABEF所在的平面互相垂直，HABE是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FEfZAEF=45°.(1)求证：EF丄平面BCE；⑵设线段CD、/E的中点分别为P、M,求证：PM〃平面BCE解：•••△/BE是等腰直角三角形，AB=AE.:AE丄••平面ABEFQ平面4BCD=4B,：AE丄平面ABCD,:AE丄加)，即AD.AB./E两两垂直，如图建立空间直角坐标系.(1)设曲=1,则AE
2、=1,5(0,1,0),0(1,0,0),E(0,0,l),C(l,l,0),•FA^FE,Z^£F=45°,AZ^F£=90°,从而F(0,
3、),EF=(0,~BE=(0,-1,1),~BC=(1,0,0).于是丽.~BE=0+
4、-
5、=0,丽.=0,・・£F丄〃E,EFJBC,VBEU平面BCE,BQU平面BCE,BCOBE=B,・・EF丄平面BCE.(2)M(0,0,
6、),P(l,J,0),从而PM=(-1,
7、),于是而•丽=(-l,~r2)(0,"2)•.PM丄又丄平面BCE,直线PM不在平面BCE内，故P
8、M"平面〃CE・2.(本小题满分20分)如图，正方体ABCD-A{BiCiDi中，E、F分别是/Qi、/liCi的中点，求：(1)异面直线AE与CF所成角的余弦值；(2)二面角C-AE-F的余弦值的大小.解：不妨设正方体的棱长为2,分别以D4、DC、DDi所在直线为x轴、丿轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,C1则/(2Q0),C(0,2,0),£(1，0,2),尸(1儿2)・(1)由~AE=(-1,0,2),CF=(1,-1,2),得AE=-/5,
9、CF
10、=^/6,AE・CF=-1+0+4=3・又AE•CF
11、=
12、AE
13、*
14、CF
15、*cos〈AE,CF〉=-/3bcos〈AE,CF〉，cos=欝,即AE与CF所成角的余弦值为豁.(2)・・EF=(0,1,0),・••庞•丽=(-1,0,2)(0,1,0)=0,••AE丄EF,过C作CM1AE于M,则二面角C-AE-F的大小等于〈丽，MC>,•M在AE上,••设AM=mAE,则AM=(一加,0,2加)，MC=AC-AM=(-2,2,0)-(-zh,0,2/m)=(tn-2,2,-2m).••MC丄力E,••・祝•盍=(/n-2,2,-2加)・(-1,0,2)
16、=0,2••m=耳EF・MC=(0,1,0)•(一鲁，2,_£)=0+2+0=2.又丽・MC=
17、£F
18、-
19、MC
20、-cos=^cos,/.cos<£F,MC>=企p・••二面角C-AE-F的余弦值的大小为¥・3.（本小题满分20分）（精选考题•侠西离考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面/BCD是矩形，刃丄ABCD,AP=AB=2fBC=2&,E,F分别是/D,PC的中点.（1）证明：PC丄平面〃EF；(2)求平面〃EF与平面54P夹角的大小.解：法一：(1)证明：如图，以A为坐标原点，
21、AB、40、APpP所在直线分别为上％z轴建立空间直角坐标系./弋》—/B=2,BC=4D=2y[i,四边形M3是矩形.为・・/,B,C,D,P的坐标为力(0,0,0),〃(2,0,0),C(2,2迈，x"0),Z)(0,2迈，0),P(0,0,2),又E,F分别是AD,PC的中点，・・・E(0,VL0),F(l,迈，1)./•PC•BF=一2+4-2=0,PC•EFAPC丄丽，元丄丽，APC=(2,2^2,-2),JF=(-l,yf2,1),~EF=(1,0,1)，=2+0-2=0,・・PC丄BF,PC丄EF
22、,BFCEF^F,・・FC丄平面BEF.⑵由⑴知平面〃EF的法向量«!=PC=(2,2^2,-2),平面的法向量w2=AD=(0,2^2,0),•"1•刃2=8.设平面BEF与平面B/P的夹角为0,则COS0=
23、COS〈""2〉
24、=脇=養誌=¥，/./?=45°,•••平面BEF与平面的夹角为45。・法二：(1)证明：连接PE,EC,在RtA/ME和RUCDE中，PA=AB=CD,AE=DE,••PE=CE,即APEC是等腰三角形,又尸是PC的中点，・・・EF丄PC,又BP=&P2+扭=2p=BC,F是PC的中
25、点,:BF丄PC.^BFQEF=F,:PC丄平面B£F・(2)PA丄平面ABCD,•.刃丄BC,又ABCD是矩形，:-AB丄BC,••BC丄平面必P,BC丄PB,又由(1)知PC丄平面BEF,・•・直线PC与的夹角即为平面BEF与平面血P的夹角，在中，PB=BC,ZPBC=90。，AZPCB=45°.所以平面与平面B/P的夹角为45°.3.(本小题满分20分)(精选考题
