次型及其标准形2

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1、所谓方阵可以对角化,是指与对角阵相似.即存在可逆矩阵使成立.1.可对角化矩阵的性质即存在可逆矩阵使成立，那么：若与对角阵相似,即是A的n个特征值;而P的第i列是的对应于特征值的特征向量说明如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，能对角化．2.矩阵可对角化的条件定理2n阶方阵A可以对角化A有n个线性无关的特征向量.（1）求的所有根（2）对每一特征值否则，将所有矩阵A对角化的步骤:(重数为的一个基础解系若有一个,则A不能对

2、角化;特征值对应的基础解系合在一起:定理1对称矩阵的特征值为实数.一、对称矩阵的性质是A的全部特征值.其中设A为n阶对称矩阵,则必有n阶正交矩阵Q,定理3使二、实对称矩阵的对角化对称矩阵对角化的步骤:(2)求特征值对应的线性无关的特征向量:(1)求全部特征值;,若特征值为单根对特征向量单位化;若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化;且为正交阵,(3)写出正交矩阵Q,及相似标准形三、二次型的矩阵及秩四、化二次型为标准形五、小结思考题二、二次型的表示方法一、二次型及其标准形的概念第五节二次型及其标准形第五章相似矩阵及二次型一、二次型及其标准形的概

3、念称为二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如都为二次型；为二次型的标准形.1．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法2．用矩阵表示三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．解例１例2求下列二次型的矩阵1)三元二次型2)二元二次型解1)这是三元二次型,所求矩阵为三阶实对称矩阵2)这是二元二次型,所求矩阵为三阶实对称矩阵例3求n元二次型的矩阵A.解:例4求n阶对称矩阵所对应的二次型.解：所

4、对应的二次型为设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．说明用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例2从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组4．将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为例6用正交变换化二次型为标准型.解：二次型的矩阵特征值为其对应的特征向量分别为将这三个向量规范正交化得到令则做正交变换化为标准型1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对

5、称矩阵化为对角矩阵.2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法——拉格朗日配方法．五、小结