次型及其标准形

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1、§5二次型及其标准形三、用配方法化二次型为标准形二、二次型在可逆变换下的变化情况一、二次型的矩阵表示1例.有心二次曲线方程①可取适当的转轴变换:②方程①可化成标准方程③一、二次型的矩阵表示2特点:(1).变换阵(2).可逆变换不改变常数(项).实质:经变换②二次齐次多项式,有交叉项.二次齐次多项式,无交叉项.3定义11.二次型是指二次齐次函数(二次齐次多项式).4f可写成:即5记6註:(2).A的对角线上的元素是f中的平方项的系数.A的右上角是f中交叉项系数的一半.例1.例2.写成矩阵表示.3735-155-157例3.写成矩阵表示.1-101

2、22-101-1220-11-1AX8(1)A为n阶实对称阵.可逆变换:(2)二、二次型在可逆变换下的变化情况9即P

3、P

4、≠0X=PY.(3)要把f化成标准形:10若把标准形写成矩阵,则00把(3)代入(1),有11证明:若A为对称阵,[註]:性质表明,经可逆变换X=PY后,二次型f的矩阵变为其秩不变.性质:任给可逆阵P,令若A为对称阵,则B为对称阵,12定理十:任给二次型总有正交变换X=PY,使f化为标准形证明:据定理九,总有正交阵P,使0013代入00证毕.14例4.化二次型为标准形.解:利用f的矩阵A的特征值写出f的标准形.f的矩阵为:1

5、5A的特征多项式:16例5.试确定一个正交变换X=PY,将二次型化为标准形.解:f的矩阵为:17可解得A的特征值为:对应的特征向量为:18令则X=PY为所求正交变换.它将二次型f化为注意:19例6.化二次型成标准形,并求所用的变换矩阵.解:三、用配方法化二次型为标准形20所用的变换阵为:21例7.化二次型成标准形,并求所用的变换矩阵.解:令.代入,得22令由于.23,.变换阵所用的变换阵为:所用的线性变换为:24