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1、6.1实二次型及其标准形一、二次型及其矩阵二、合同变换三、用配方法化二次型为标准形四、用正交变换化二次型为标准形一、二次型及其矩阵称为n元二次型.若aij为实数，则称为实二次型.若aij为复数，则称为复二次型.则f(x1,…,xn)=XTAX.A:二次型f(x1,…,xn)的矩阵.例1f(x1,x2,x3)=2x12–3x22+4x32-2x1x2+3x2x3A:f(x1,x2,x3)的矩阵若令则有f(x1,x2,x3)=XTBX但BT≠B,故B不是f(x1,x2,x3)的矩阵二次型也记为f(X)=XTAX.(AT=A)
2、二次型f(X)的秩：A的秩.在例1中，f(x1,x2,x3)的矩阵R(A)=3,故f(x1,x2,x3)的秩为3.解：例2：求对称矩阵所对应的二次型。解：例3：已知二次型的秩为2，求参数c。解：可逆线性替换定义8-2：设是两组变量，我们将下列关系式称为从变量组到的一个线性替换（变换）。(2)系数矩阵则线性变换（2）可记作：若C可逆，则称(2)为非退化（可逆），（满秩）线性变换。若C正交，则称(2)为正交线性变换。非退化线性替换的性质：（1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换证：（2）连续施行线性替换的结果还是一个线性替
3、换证：（3）连续施行非退化线性替换的结果还是一个非退化线性替换；连续施行正交替换的结果还是正交替换。矩阵的合同经过非退化线性变换可化为则矩阵的合同：所以，通过非退化线性变换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.矩阵合同的性质：(1)反身性：矩阵A与自身合同；(2)对称性：若A与B合同，则B与A合同；(3)传递性：若A与B合同，且B与C合同,则A与C合同.A与B等价：PAQ=B,P,Q可逆；A与B相似：P-1AP=B,P可逆；请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？三、用配方法化二次型为标准形只含平方项的二次型d1y12
4、+d2y22+…+dryr2(di≠0)称为标准形.形如z12+…+zp2–zp+12-…-zr2的二次型称为规范形.p:正惯性指数；r-p:负正惯性指数；
5、r-2p
6、:符号差.例用配方法化二次型为标准形f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+6x2x3+2x1x3=(x12+2x1x2+2x1x3+x22+x32+2x2x3)+x22+2x32+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x22+4x2x3+4x32)-2x32=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2-2x32则f(x1,x2,x
7、3)=y12+y22–2y32（法1）f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+6x2x3+2x1x3=(x12+2x1x2+2x1x3)+2x22+3x32+6x2x3=(x1+x2+x3)2+(x22+4x2x3)+2x32=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2-2x32则f(x1,x2,x3)=y12+y22–2y32（法2）即(1):从x1,x2,x3到y1,y2,y3的线性变换.(2):从y1,y2,y3到x1,x2,x3的线性变换.(1)与(2)所表达的x1,x2,x3与y1,y2
8、,y3的关系是相同的.利用配方法与归纳法可以证明：定理1任一实二次型f(X)=XTAX都可用配方法化为标准形.例f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2x3令则,f(x1,x2,x3)=2y12–2y22–4y1y3+8y2y3=2(y12–2y1y3+y32)-2y22-2y32+8y2y3=2(y1–y3)2–2(y22-4y2y3+4y32)+6y32=2(y1–y3)2–2(y2-2y3)2+6y32=2z12–2z22+6z32（法1）上式最后一步使用的变换是则f=2z12–2z22+6z32=t
9、12+t22-t32f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2x3令则,f(x1,x2,x3)=2y12–2y22–4y1y3+8y2y3（法2）=2(y12–2y1y3)-2y22+8y2y3=2(y1–y3)2-2(y22-4y2y3)-2y32=2(y1–y3)2-2(y2-2y3)2+6y32=2z12–2z22+6z32上式最后一步使用的变换是则,f=2z12–2z22+6z32=t12+t22-t32特点:二次型中至少有一个平方项系数不为零特点:二次型中平方项系数全为零.(即无平方项)定理2任何一
10、个实二次型的规范形都是惟一的.证将实二次型f(X)=XTAX经合同变换化为标准形后，将正项集中在前，负项集中在后：d1y12+…+dpyp2-dp+1yp+12-…-dryr2得f(X)=XTAX的规范形为z12+…+zp2–zp+12-…-zr2由于合同变换不改变二次型的秩，所以r是惟一确定的.进一步还可证明正惯性
