实二次型的合同标准形与正交标准形

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1、实二次型的合同标准形与正交标准形杨忠鹏　陈智雄　晏瑜敏　林志兴2007年6月30日莆田学院数学系福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会一、二次型的基本问题（1）（1）可被唯一表示为（2）基本问题：（3）其中,可逆常用的实二次型化简2）（5）（5）中为实二次型的正交标准形.1）（4）称（4）为实二次型的合同标准形.其中,可逆,,为正、负惯性指数.二、目前的教材处理情况1.北大教材[1]第五章二次型五节内容基本问题：合同标准形第九章欧几里得空间§9.6实对称矩阵的标准形基本问题：正交标准形第十章双线性

2、函数与辛空间§10.3双线性函数将基本知识分散处理于三部分距离远、联系差2.张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）[2]第八章欧氏空间和酉空间§8.4对称变换和对称矩阵基本问题：正交标准形第九章二次型§9.1-§9.3基本问题：合同标准形§9.4主轴问题、正交标准形福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲第六章二次型，第七章欧氏空间），[3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起点）.3.非数学专业教材两种标准形是紧密出现的居余马[4]第五章特征值和特征向量、矩阵的对角化§5

3、.3实对称矩阵的对角化（正交标准形）第六章二次型（主要是实二次型）同济线性代数[5]第五章相似矩阵及二次型§5.4对称矩阵的对角化§5.5二次型及其标准型§5.6用配方法化二次型成标准型§5.7正定二次型中国人大线性代数[6]第四章矩阵的特征值§4.4实对称矩阵的对角化第五章二次型4.新出版的一些高等代数教材邱维声[7]第五章矩阵的相抵分类与相似分类第六章二次型、矩阵的合同分类这样可将正交标准形同时纳入教学内容姚慕生[8]实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合同标准型更强有力的工具.（见[8,P246]）第八章二

4、次型§8.1正交相似标准形§8.2合同标准形第九章内积空间第十章双线性型张贤科[9]结构有较大变化，分三部分：Ⅰ基础内容多项式线性代数线性空间线性变换Ⅱ深入内容第七章方阵相似标准形与空间分解第八章双线性型、二次型与方阵相合第九章欧几里德空间与酉空间Ⅲ选学内容三、几点看法1.实二次型两种标准形的重要性数学专业教材新编教材非数学专业教材2007年国家教育部颁布的考研大纲，变化最大的部分是二次型的两种标准形作为高数四的新增内容.现在高数一、二、三、四的线性代数考纲基本相同.2.要注重讨论的几何背景合同标准形可给出二次

5、曲面的仿射分类[9,§8.8二次曲面的仿射分类,定理8.13]定理8.13对中二次超曲面记分别为的秩、正惯性指数、负惯性指数、符号差；分别为相应的值.则可经仿射变换化此二次超曲面的方程为当当当1）2）3）[9,§9.5二次曲面的正交分解,定理9.12]定理9.12设欧几里得空间中二次超曲面在一标准正交基下的方程为实对称方阵的非零特征值，则可经过正交变换化此曲面为下列情形之一：1）（当为的秩）2）（当）（）3）（当）3.要加强对正交矩阵相关性质的教学运算性质与正交标准形相关的矩阵分解结构性质i)行(列)向量标准基

6、ii)元素与代数余子式iii)特征值应用:i)分解设,如果,则有唯一的正交矩阵和正上三角矩阵使得.（文献[1]第九章习题14）①设为阶正定矩阵,则有正上三角矩阵使（文献[1]第九章习题20）②设证明存在正交矩阵,使为三角阵的充分必要条件是的特征多项式的根全部是实的.ⅱ)矩阵偶(文献[1]第九章补充题10)设都是实对称矩阵且是正定的,证明存在实可逆矩阵,使与同时为对角矩阵.ⅲ)正定矩阵的正定平方根设是一个正定矩阵,证明存在一个正定矩阵,使得.①可以证明是唯一的,因此可记②你能否证明:对任意正整数,正定矩阵有唯一的

7、次正定方根使得?③正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？④正定矩阵乘积的特征值都是正实数？ⅳ)极分解（北师大高等代数第四版§9.4习题２）设为可逆矩阵,证明存在正定矩阵和正交矩阵,使得.①这种分解是唯一的吗?②是否有分解形式?ⅴ)奇异值分解设为可逆矩阵,证明存在正交矩阵和使得①当时,上述分解形式有什么变化?②称为的奇异值,与的特征值是什么关系?参考文献：[1]北京大学编,高等代数（第三版）,高等教育出版社,2003年.[2]张禾瑞,郝鈵新编,高等代数(第四版),高等教育出版社,1999年.[3]陈昭木,陈清华,王华雄

8、,林亚南编著,高等代数(下),福建教育出版社,1992年.[4]居余马,线性代数(第二版),清华大学出版社,2002年.[5]同济大学应用数学系编,线性代数(第四版),高等教育出版社,2003年.[6]吴赣昌主编,线性代数(理工类),中国人民大学出版社,2006年.[7]邱维声,高等代数(上册),高等教育出版社,北京,2002年.[8]姚慕生,高等代数(大学数学学习方法指导丛书),复旦