次型及其标准形.ppt

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1、第五章二次型第一节二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法三、二次型的矩阵及秩四、化二次型为标准形一、二次型及其标准形的概念称为二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如都为二次型；为二次型的标准形.1．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法2．用矩阵表示三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．解例１设四、化二次型为标准形对于二次型

2、，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．证明即为对称矩阵.定义2对于n阶矩阵A和B，如存在n阶可逆矩阵C，使得B=CTAC，则称B合同于A，记作对A进行运算CTAC，称对A进行合同变换。说明1.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤线性无关解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例2从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组4．将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为解例3化为标准型，并指出表示何种二次曲面.求一正交变换，将二次型思考题思考题解答2.拉格朗日配方法的

3、具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.解例1含有平方项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为解例2由于所给二次型中无平方项

4、，所以再配方，得所用变换矩阵为小结将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．思考题思考题解答