第6章-二次型及其标准形.ppt

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1、第六章二次型及其标准形§6.1二次型及其矩阵表示§6.2化二次型成标准形§6.3正定二次型与正定矩阵§6.4二次型应用举例1§6.1二次型及其矩阵表示引言判别下面方程的几何图形是什么？作旋转变换代入(1),化为:见下图23称为n维(或n元)的二次型.定义含有n个变量的二次齐次函数如三维的二次型为:关于二次型的讨论永远约定在实数范围内.4二次型的矩阵表示对称5一般地，对于n维的二次型上式称为二次型的矩阵表示。也常记为(对称)其中6任给一个对称矩阵A，令显然可唯一地确定一个二次型．反之，任给一个二次型f可找到对称矩阵A使得(如前).而且对称矩阵A是唯一.n维二次

2、型与n阶对称矩阵之间是一一对应的关系．对称矩阵A叫做二次型f的矩阵;f叫做对称矩阵A的二次型;对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩.记作r(f).7例1写出下面二次型f的矩阵表示，并求f的秩r(f)。解问：在二次型中,如不限制A对称,A唯一吗?8定义只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)。平方项系数只在中取值的标准形(注：这里规范形要求系数为1的项排在前面，其次排系数为-1的项。与书上略有不同。)称为二次型的规范形。9小结:主要介绍了二次型以及二次型的矩阵表示10第六章二次型及其标准型§6.1二次型及其矩阵表示§6.2化二次型成标准形§6.3正定二次型与正

3、定矩阵§6.4二次型应用举例11§6.2化二次型成标准形主要内容:正交变换法12定义设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C，使则称A与B合同.性质(1)合同关系是一种等价关系；(2)A与B合同,则r(A)=r(B);(3)A与B合同,A对称,则B对称.二次型化标准形又相当于把一个对称矩阵合同变换为对角矩阵。在n阶对称矩阵集合中，矩阵的合同等价相当于二次型可以互化(也称二次型等价)。13目的：对给定的二次型找可逆的线性变换(坐标变换)：代入(1)式，使之成为标准形称上面过程为化二次型为标准形。14用矩阵书写化二次型为标准形：(其中D为对角矩阵)对给定的对称矩阵A，

4、找可逆矩阵C，使问：这件事情能够做到吗？以前学过吗？注意到与都是对称矩阵，而二次型与对称矩阵是一一对应关系，故“化二次型为标准形”又等价于15主轴定理6.2.1一、正交变换法16用正交变换化二次型为标准形的步骤17例2解化为标准形。求A的特征值求二次型的矩阵18求A的规范正交的特征向量单位化19得正交的基础解系单位化求正交变换矩阵写出二次型的标准形用正交变换，二次型f化为标准形为20例3设二次型经正交变换化为标准形求(1)a,b;(2)正交变换矩阵Q.解二次型的矩阵为由题意由相似矩阵的性质得，从而21解得A与D有相同的特征值，分别为求得它们对应的特征向量(正

5、交)为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵22二.用配方法化二次型成标准形配方法的步骤(自学)1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形;2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.23小结:主要介绍了化二次型为标准形的正交变换法，24作业25第六章二次型及其标准型§6.1二次型及其矩阵表示§6.2化二次型成标准形§6.3正定二次型与正定矩阵§6.4二次型应用举例26一、二次型的规范形。设二次型f(x)=

6、xTAx(r(A)=r)经正交变换化为:再做一次可逆的线性变换则f化为（1）§6.3正定二次型与正定矩阵27思考(1)二次型的标准形唯一吗？(2)二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？(3)设CTAC=D(C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？(4)设4阶对称矩阵A的特征值为0,2,2,-3,A的二次型的规范形是什么？定义：二次型的标准形中，平方项的系数由１或－１或０构成的标准形称为规范形．28惯性定理在二次型的标准形中，正项个数与负项个数保持不变。或者说二次型的规范形唯一

7、。二次型的标准形中正项个数称为二次型的正惯性指数,负项个数称为二次型的负惯性指数.设二次型f的秩为r,正惯性指数为p,则负惯性指为r–p.f的规范形为惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定。29二次型f(x)=xTAx对任意x≠0，都有f(x)=xTAx>0.则称二次型为正定的二次型，并称二次型的矩阵为正定矩阵．二、正定二次型二次型f(x)=xTAx对任意x≠0，都有f(x)=xTAx＜0.则称二次型为负定的二次型，并称二次型的矩阵为负定矩阵．30规范形为的二次型为正定二次型。与单位矩阵合同的对称矩阵为正定矩阵。n维的二次型f(x)=x

8、TAx正定的充要条件是其标准形系数全为正(秩和正惯性