5.6平面向量的数量积及运算（二）

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1、5.6平面向量的数量积及运算律(二)yyyy年M月d日星期教学目标：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用一、复习引入：2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量

2、a

3、

4、b

5、cos叫a与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=

6、a

7、

8、b

9、cos，（０≤θ≤π）.并规定零向量与任何向量的数量积为0。1．两个非零向量夹角的概念3

10、、向量b在a方向上的投影ABOabB1θABOB1θABO（B1）θ定义：

11、b

12、cos叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为

13、b

14、；当=180时投影为

15、b

16、。向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影

17、b

18、cos的乘积。①e·a=a·e=

19、a

20、cosθ.②a⊥ba·b=0.③当a与b同向时,a·b=

21、a

22、

23、b

24、；当a与b反向时，a·b=-

25、a

26、

27、b

28、.特别地，a·a=

29、a

30、2或

31、a

32、=。⑤

33、a·b

34、≤

35、a

36、

37、b

38、④4．两个

39、向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。二、新课教学：平面向量数量积的运算律1．交换律：ab=ba2．数乘结合律：(λa)b=λ(ab)=a(λb)3．分配律：(a+b)c=ac+bc2、证明：(λa)b=λ(ab)=a(λb)证：若λ>0，(λa)b=λ

40、a

41、

42、b

43、cos，λ(ab)=λ

44、a

45、

46、b

47、cos，a(λb)=λ

48、a

49、

50、b

51、cos，若λ<0，(λa)b=

52、λa

53、

54、b

55、cos()=

56、λa

57、

58、b

59、(cos)=λ

60、a

61、

62、b

63、cos，λ(ab)=λ

64、a

65、

66、b

67、cos，a(λb

68、)=

69、a

70、

71、λb

72、cos()=λ

73、a

74、

75、b

76、(cos)=λ

77、a

78、

79、b

80、cos。A1B112bBAaOCc3、证明：(a+b)c=ac+bc证；在平面内取一点O，作=a,=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

81、a+b

82、cos=

83、a

84、cos1+

85、b

86、cos2∴

87、c

88、

89、a+b

90、cos=

91、c

92、

93、a

94、cos1+

95、c

96、

97、b

98、cos2∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc例1辨析题:1.若a≠0,且a·b=0,则b=0.2.若a≠0,且a·b=a·c,则b=c.3.(a·b

99、)·c=a·(b·c).1.若a≠0,且a·b=0,则b=0.2.若a≠0,且a·b=a·c,则b=c.3.(a·b)·c=a·(b·c).4.若a2=0,则a=05.若a2+b2=0,则a=b=06若

100、a·b

101、≥

102、a

103、·

104、b

105、，则a∥b.向量的数量积不满足结合律abc┐解:=62-6×4×cos60º-6×42=-72(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b–6b·b=

106、a

107、2-

108、a

109、

110、b

111、cos-6

112、b

113、25.已知

114、a

115、=6,

116、b

117、=4,a与b的夹角为60º,求(a+2b)·(a-3b).例3例4证：如图，平行四边形ABCD中，，，=∴2=而=∴2=∴

118、2+2=2=ADCB例5练习2.设

119、a

120、=12,

121、b

122、=9,a·b=-54√2求a和b的夹角.1.已知

123、p

124、=8,

125、q

126、=6,p和q的夹角为60°,求p·q.3.已知△ABC中,AB=a,AC=b,当a·b<0,a·b=0时,△ABC各是什么三角形.24cos=-√2/2,钝角三角形直角三角形=135°4.已知a、b是非零向量，则

127、a

128、=

129、b

130、是(a+b)与(a-b)垂直的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C思考题:你能用平面向量的数量积来表示三角形的面积吗?CABab5.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60

131、°，且

132、a

133、=1,

134、b

135、=2,

136、c

137、=3,则(a+2b-c)2＝______.11小结掌握平面向量数量积及其运算律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.