平面向量的数量积及运算律

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1、平面向量的数量积及运算律（1）教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教学过程：一、引入：力做的功：W=

2、F

3、×

4、s

5、cosq，q是F与s的夹角二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与ｂ，作＝a，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（0≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝0时，a与ｂ同向；（2）当θ＝π时，a与ｂ反向；

6、（3）当θ＝时，a与ｂ垂直，记a⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的.范围0°≤q≤180°2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量

7、a

8、

9、b

10、cosq叫a与ｂ的数量积，记作a×b，即有a×b=

11、a

12、

13、b

14、cosq，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0。×探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“

15、·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0。（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bcÞa=c。但是a×b=b×ca=c如右图：a×b=

16、a

17、

18、b

19、cosb=

20、b

21、

22、OA

23、，b×c=

24、b

25、

26、c

27、cosa=

28、b

29、

30、OA

31、Þa×b=b×c但a¹c(5)在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是(a×b)c¹a(b×c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。3．“投影”的概念：作图

32、学大教育科技(北京)有限公司XuedaEducationofFoshanChancheng定义：

33、b

34、cosq叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为

35、b

36、；当q=180°时投影为-

37、b

38、。4．向量的数量积的几何意义：数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影

39、b

40、cosq的乘积。5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。1°e×a=a×e=

41、a

42、cosq2°a^bÛa×b=03°当a与b同向时，a×b=

43、a

44、

45、b

46、；当a与b反向时，

47、a×b=-

48、a

49、

50、b

51、。特例：a×a=

52、a

53、2或4°cosq=5°

54、a×b

55、≤

56、a

57、

58、b

59、三、讲解范例：例1判断正误，并简要说明理由.①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜；⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·ｂ≠0；⑥a·ｂ＝0，则a与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量a，ｂ，с都有（a·ｂ）с＝a（ｂ·с）；⑧a与ｂ是两个单位向量，则a２＝ｂ２.例2已知｜a｜＝3，｜ｂ｜＝6，当①a∥ｂ，②a⊥ｂ，③a与ｂ的夹角是60°时，分别求a·ｂ.学大教育科技(北京)有限公司XuedaEducationofFoshanChancheng例3判断下列命题的真

60、假：（1）在△ABC中，若，则△ABC是锐角三角形；（2）在△ABC中，若，则△ABC是钝角三角形；（3）△ABC为直角三角形的充要条件是.例4试证明：若四边形ABCD满足则四边形ABCD为矩形.例5设正三角形ABC的边长为四、小结通过本节学习，要求掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题学大教育科技(北京)有限公司XuedaEducationofFoshanChancheng课后反思：1.概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是

61、一些易见的错误，如：1.已知△ABC中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求·.对此题，有同学求解如下：解：如图，∵｜｜＝ａ＝５，｜｜＝ｂ＝８，Ｃ＝６０°，∴·＝｜｜·｜｜cosＣ＝5×8cos60°＝20.分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，Ｃ并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°.2.向量的数量积不满足结合律分析：若有（ａ·ｂ）с＝ａ·（ｂ·с），设ａ、ｂ夹角为α，ｂ、с夹角为β，则(ａ·ｂ)с＝｜ａ｜·｜ｂ｜cosα·с，ａ·(ｂ·с)＝ａ·