56平面向量数量积及运算律

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1、5.6平面向量数量积及运算律利用定义求向量的数量积例1．已知，，当（l）（2），（3）与的夹角为时，分别求与的数量积。分析：已知与，求，只需确定其夹角，须注意到时，有和两种可能。解：（1），若与同向，则，∴；若与反向，则，∴，（2）当时，，∴，（3）当与的夹角为时，.小结：（1）对于数量积，其中的取值范围是；（2）非零向量和，；（3）非零向量和共线的充要条件是．向量性质描述的判断例1．已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（）①；②、反向③；④A．1B．2C．3D．4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减

2、法的平行四边形法则．①中∵，∴由及、为非零向量可得，∴或，∴且以上各步均可逆，故命题①是真命题．②中若、反向，则、的夹角为，∴且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③中当时，将向量、的起点确定在同一点，则以向量、为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有．反过来，若，则以、为邻边的四边形为矩形，所以有，因此命题③是真命题．④中当但与的夹角和与的夹角不等时，就有，反过来由也推不出．故命题④是假命题．答案：C小结：（1）两向量同向时，夹角为0（或）；而反向时，夹角为（或）；两向量垂直时，夹角为．因此当两向量共线时，夹角为0或，反过来若两

3、向量的夹角为0或，则两向量共线．（2）对于命题④我们可以改进为：既不是的充分条件也不是必要条件．利用向量垂直证明平面几何垂直问题例1．如图，已知中，是直角，，是的中点，是上的一点，且.求证：.分析：借助向量垂直的充要条件解题，即证明.证明：设此等腰直角三角形的直角边长为，则.所以.小结：用向量方法证明几何问题时，一般应把已知和结论转化成向量的形式，再通过相应的向量运算完成证明，不难发现，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度关系等方面的几何问题，利用向量的数量积可解决长度关系、角度、垂直等几何问题。判断四边形形状例1、平面四边形中，，，，，且，判断四边形的形

4、状．分析：在四边形中可知，，故，两边平方后，根据题设可得四边形边长的关系，由此从四边形的边长及内角的情况来确定四边形的形状．证明：由四边形可知，（首尾相接），即展开得，同理可得（1）－（2）得，，，即，，故四边形是平行四边形.由此，又，即即故四边形是矩形小结：利用向量数量积及有关知识，可以解决许多几何问题，特别是几何图形形状的判断，因为向量积与长度（模）和角有关．如用向量证明等腰三角形底边上的中线垂直于底边．如图所示，为等腰三角形，为底边的中点．设，，，，故，命题成立.求向量夹角的余弦例1．设，则与的夹角的余弦值为＿＿＿＿＿．分析：要求夹角需先求出的值。解：，

5、．把代入得．由，得于是．小结：本题涉及了平面向量的数量积的概念，性质以及有关运算律，体现了较强的综合性．向量垂直例1、已知向量为相互垂直的单位向量，设，则分析：本题考查向量运算，两向量垂直的充要条件．解：由题设可知，．由，得，即，得．小结：解决本题时，应注意．另外，解本题时，也可利用向量的坐标表示求解，即，再运用向量垂直的充要条件求出m的值．向量垂直的证明例1．已知非零向量和夹角为，且，求证：．分析：欲证两个向量垂直只需证明它们的数量积为零．证明：因为和夹角为，所以；又因为，所以，即，，即．因为，把代入上式消去得．所以．小结：这也是垂直的证明问题，但不是从平面

6、几何的角度，而是直接从数量积的角度给出条件，再运用数量积的有关知识解决问题．向量垂直时的参数值例1．已知，当时，求实数的值．分析：求一个实数的值，运用方程的思想，建立一个方程，通过解方程使问题得解．解：，．，，即，※．把，代入※式，得小结：通过向量垂直两向量的数量积为0，建立等式将向量问题转化为方程求解．向量的夹角例1、已知不共线向量，，，，且向量与垂直．求：与的夹角的余弦值．分析：由向量数量积定义知，所以需求之值．由已知得，从中可求得之值．解：垂直，根据向量数量积的运算律得，，，即为所求．小结：非零向量是应用向量解决有关垂直问题很重要的手段，特别是根据向量数

7、量积的定义，把研究形的问题，转化为数量问题，如已知，与夹角为，问当取何值时，与垂直，，由可求得．向量数量积的运算例1、已知向量为相互垂直的单位向量，，那么分析：应先求出，再计算．解：由已知①②①＋②得①－②得故小结：解决本题也可利用向量坐标运算，或求解．已知平行四边形对角线一半的数量积例1、如图所示，已知平行四边形，，，，，求：.分析：根据向量数量积定义，来求显然不行，因为，，都无法确定．怎么办呢？由于，，而，，由此，从而可求得.解：为平行四边形，根据向量的加、减法法则知：，点为平行四边形对角线、的交点，即为、的中点，，.小结：（1）通过本题我们看到了与的夹角

8、无关，只与、有关．（2）直接应用向量数