平面向量数量积及运算律

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1、平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积及运算律　　知识要点:　　两向量的数量积是两向量之间的一种乘法，与数的乘法、实数与向量的积都是有区别的.首先需明确两向量的数量积结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角决定，其次需注意等式两边如果都是数量积，不能随意约去一个向量.　　用向量的数量积可以处理有关长度、角度、垂直的问题，但向量式的混合运算仍然是解决这一切问题的基础.易错的地方有两处，一是数量积的书写方法，特别是混合算式中哪两个向量之间写"·"，哪些地方什么都不写，关键要看是向量间的内积，还是实数与向量的积，二是两个向量的夹角，一定要严格依

2、照定义，将两个向量的始点移到一起再找夹角，的夹角若为θ，则的夹角为.　　典型题目:　　例1．已知向量与的夹角为120°，且

3、

4、=4,

5、

6、=2,　　求(1)

7、+

8、；(2)

9、3-4

10、；(3)(-2)(+).　　解:·=

11、

12、

13、

14、cosθ=4×2×cos120°=-4.　　(1)∵

15、+

16、2=(+)2=2+2·+2　　=

17、

18、2+2·+

19、

20、2=42+2×（-4）+22=12，　　∴

21、+

22、=.　　(2)∵

23、3-4

24、2=（3-4）2=92-24·+162=16×19,∴

25、3-4

26、=.　　(3)(-2)·(+)=2-·-22=42-(-4)-2×22=12.　　点评:求某些向量的模往往是通过求它的平

27、方来实现的，例如

28、

29、=.　　例2、ΔABC中，，且，求ΔABC的最长边的长.　　解:如图所示，由向量的数量积的定义，可得.　　∵，∴,　∵0°

30、a

31、=2,

32、b

33、=3，a与b的夹角为θ，就θ的取值范围给出b在a方向上的投影的一个分类，并依此求出的最大值和最小值.　　解:由向量的投影，得b在a方向上的投影为

34、b

35、cosθ.　　(1)当θ=0时，cosθ=1,

36、b

37、cosθ=

38、b

39、；　　(2)当时，c

40、osθ>0,

41、b

42、cosθ>0；　　(3)当时，cosθ=0,

43、b

44、cosθ=0；　　(4)当时，cosθ<0,

45、b

46、cosθ<0；　　(5)当θ=时，cosθ=-1,

47、b

48、cosθ=-

49、b

50、.由于当θ∈[0，]时，cosθ∈[-1,1],　　所以

51、b

52、cosθ∈[-

53、b

54、,

55、b

56、],即

57、b

58、cosθ∈[-3,3],又因为，　　因此，的最大值为8（此时θ=），最小值为（此时θ=0）.　　例4、已知一个与水平方向夹角为30°的力,的大小为50N，拉着一个重80N的木块在摩擦系数m=0.02的水平面上运动了20米，求、摩擦做的功分别为多少？　　解:设木块位移为，则做的功为=50×20×

59、cos30°=.在铅直方向的分解力大小为50×sin30°=25,故的大小(80-25)×0.02=1.1,则做的功为=1.1×20×cos180°=-22J.　　点评:综合应用物理学知识f=G·m.　　例5、设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则　　①；②；　　③不与垂直；④　　中，是真命题的有（）.　　A、①②　　B、②③　　C、③④　　D、②④　　解:选D.点评:注意是与共线的向量，其中表示数量.　　例6、已知

60、a

61、=2,

62、b

63、=1,a与b的夹角为，求向量m=2a+b与向量n=a-4b的夹角的余弦值.　　解:由向量的数量积的定义，得a·b=.　　∵m=2a+b,n=a-4b

64、,∴m2=4a2+4ab+b2=4×4+4+1=21,　　∴n2=a2-8ab+16b2=4-8+16=12,∴

65、m

66、,

67、n

68、=.　　设m与n的夹角为θ，则m·n=

69、m

70、

71、n

72、cosθ.....①　　又m·n=2a2-7a·b-4b2=2×4-7-4=-3.把m·n=-3,

73、m

74、,

75、n

76、=代入①式，得　　,∴,即向量m与n的夹角的余弦值为.　　课外练习:　　1．已知，求的夹角的余弦值.　　2．已知O为ΔABC所在平面内一点，且满足，求证:O点是ΔABC的垂心.　　3．已知O是正三角形ABC内任意一点，从O向各边BC、CA、AB作垂线，垂足分别为P、Q、R.求证:AR+BP+CQ为定

77、值.　　参考答案:　　1．　　　　注意本题易犯如下典型错误:.这是数量积运算中概念性错误，一般来说，不一定等于，这一点可由向量数量积定义证得.　　2．设，　　∵，　　∴,　　即，故，　　.所以，∴点O是ΔABC的垂心.　　3．设，则，　　同理　设.　　设，　　设正三角形ABC边长为m，则　　　　∵.　　上式.北京四中撰　稿：李　静　　编　审：安东明　　责　编：辛文升　　[本周题目]平面向量的数量积及运算律　　[本周重点]平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的