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1、5.6平面向量的数量积及运算律(二)*教学目标:1.掌握平面向量数量积运算规律;2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题;3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题.教学重点:平面向量数量积及运算规律.教学难点:平面向量数量积的应用一、复习引入:2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量
2、a
3、
4、b
5、cos叫a与b的数量积,记作ab,即有ab=
6、a
7、
8、b
9、cos,(0≤θ≤π).并规定零向量与任何向量的数量积为0。1.两
10、个非零向量夹角的概念3、向量b在a方向上的投影ABOabB1θABOB1θABO(B1)θ定义:
11、b
12、cos叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0;当=0时投影为
13、b
14、;当=180时投影为
15、b
16、。向量的数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影
17、b
18、cos的乘积。①e·a=a·e=
19、a
20、cosθ.②a⊥ba·b=0.③当a与b同向时,a·b=
21、a
22、
23、b
24、;当a与b反向时,a·b=-
25、a
26、
27、b
28、.特别地,
29、a·a=
30、a
31、2或
32、a
33、=。⑤
34、a·b
35、≤
36、a
37、
38、b
39、④4.两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量。二、新课教学:平面向量数量积的运算律1.交换律:ab=ba2.数乘结合律:(λa)b=λ(ab)=a(λb)3.分配律:(a+b)c=ac+bc2、证明:(λa)b=λ(ab)=a(λb)证:若λ>0,(λa)b=λ
40、a
41、
42、b
43、cos,λ(ab)=λ
44、a
45、
46、b
47、cos,a(λb)=λ
48、a
49、
50、b
51、cos,若λ<0,(λa)b=
52、λa
53、
54、b
55、cos()
56、=
57、λa
58、
59、b
60、(cos)=λ
61、a
62、
63、b
64、cos,λ(ab)=λ
65、a
66、
67、b
68、cos,a(λb)=
69、a
70、
71、λb
72、cos()=λ
73、a
74、
75、b
76、(cos)=λ
77、a
78、
79、b
80、cos。A1B112bBAaOCc3、证明:(a+b)c=ac+bc证;在平面内取一点O,作=a,=b,=c,∵a+b(即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即
81、a+b
82、cos=
83、a
84、cos1+
85、b
86、cos2∴
87、c
88、
89、a+b
90、cos=
91、c
92、
93、a
94、cos1+
95、c
96、
97、b
98、cos2∴c(a+b)=c
99、a+cb即:(a+b)c=ac+bc例1辨析题:1.若a≠0,且a·b=0,则b=0.2.若a≠0,且a·b=a·c,则b=c.3.(a·b)·c=a·(b·c).1.若a≠0,且a·b=0,则b=0.2.若a≠0,且a·b=a·c,则b=c.3.(a·b)·c=a·(b·c).4.若a2=0,则a=05.若a2+b2=0,则a=b=06若
100、a·b
101、≥
102、a
103、·
104、b
105、,则a∥b.向量的数量积不满足结合律abc┐解:=62-6×4×cos60º-6×42=-72(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b–6b·b=
106、
107、a
108、2-
109、a
110、
111、b
112、cos-6
113、b
114、25.已知
115、a
116、=6,
117、b
118、=4,a与b的夹角为60º,求(a+2b)·(a-3b).例3例4证:如图,平行四边形ABCD中,,,=∴2=而=∴2=∴2+2=2=ADCB例5练习2.设
119、a
120、=12,
121、b
122、=9,a·b=-54√2求a和b的夹角.1.已知
123、p
124、=8,
125、q
126、=6,p和q的夹角为60°,求p·q.3.已知△ABC中,AB=a,AC=b,当a·b<0,a·b=0时,△ABC各是什么三角形.24cos=-√2/2,钝角三角形直角三角形=135°4.已知a、b是非零向量,
127、则
128、a
129、=
130、b
131、是(a+b)与(a-b)垂直的()A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C思考题:你能用平面向量的数量积来表示三角形的面积吗?CABab5.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°,且
132、a
133、=1,
134、b
135、=2,
136、c
137、=3,则(a+2b-c)2=______.11小结掌握平面向量数量积及其运算律,掌握两个向量共线、垂直的几何判断,能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.