4 - 5 线性子空间

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1、向量空间的子空间一、线性子空间设V是Rn的子集，具有线性结构：α，β∈V，则α+β∈V；λ∈R，α∈V，则λα∈V。称V是Rn的线性子空间。一、线性子空间设V是Rn的子集，具有线性结构：α，β∈V，则α+β∈V；λ∈R，α∈V，则λα∈V。称V是Rn的线性子空间。等价地，若α，β∈V，λ，∈R，则α+β∈V例1：R3中过原点的直线和平面；例1：R3中过原点的直线和平面；例2：Rn中最大的线性子空间为Rn，最小的线性子空间为｛0｝；例1：R3中过原点的直线和平面；例2：Rn中最大的线性子空间为Rn，最小的线性

2、子空间为｛0｝；例3：齐次线性方程组Ax=0的全部解的集合，称之为解空间。回顾：对于齐次线性方程组Ax=0对系数矩阵作行初等变换10cc111，nkA01cck1k，nk00ccc11121，nkccckk12k，nk1，0，，012nk010001基础解系，所有解都是它们的线性组合生成子空间定义：α，…，α生成的线性子空间1sL(α

3、，…，α)1s={λα+…+λα

4、λ，…，λ∈R}。11ss1s也记作span(α，…，α)。1s生成子空间定义：α，…，α生成的线性子空间1sL(α，…，α)1s={λα+…+λα

5、λ，…，λ∈R}。11ss1s也记作span(α，…，α)。1s例3：设rankA=k，α，…，α为方程1n-kAx=0的基础解系，解空间L(α，…，α)1s定理：设两组向量A：α，α，…，α和12sB：β，β，…，β，12tA可以由B线性表示L(A)L(B)；A和B等价L(A)=L(B)。定理：设两组向量A：α，α，…，α和12s

6、B：β，β，…，β，12tA可以由B线性表示L(A)L(B)；证明：充分利用矩阵和向量之间的关系。“”A可以由B线性表示存在矩阵C，A=BC。另一方面，xL(A)存在向量p，x=Ap。综合可知结论成立定理：设两组向量A：α，α，…，α和12sB：β，β，…，β，12tA可以由B线性表示L(A)L(B)；证明：充分利用矩阵和向量之间的关系。“”若L(A)L(B)，则L(A)L(B)，对任意k，αL(B)，因此，α可以由Bkk线性表示，结论成立。定理：设两组向量A：α，α，…，α和12sB：β，β，

7、…，β，12tA可以由B线性表示L(A)L(B)；A和B等价L(A)=L(B)。证明：第二部分结论两次利用前一结论直接可得。二、基和维数回顾：对于向量组A：α，α，…，α，12s我们关心其最大无关组，因为其它向量都是它们的线性组合；对于齐次线性方程组Ax=0，只需要求出基础解系，则其它解都可以由它们线性表示出来。二、基和维数定义：称向量组A：α，α，…，α，为12s线性子空间V的一组基，若向量组A线性无关；V=L(A)。此时，s即称为V的维数，记作dimV二、基和维数定义：称向量组A：α，α，…，α，为12s

8、线性子空间V的一组基，若向量组A线性无关；V=L(A)。此时，s即称为V的维数，记作dimV例如：rankA=k解空间n-k维性质：设VV为Rn的两个子空间，则12dimV≤dimV；12等号成立当且仅当V=V12性质：设VV为Rn的两个子空间，则12dimV≤dimV；12等号成立当且仅当V=V12证明：分别记V和V的基为A：α，…，121α和B：β，…，β。则A可由B表示，s1t而A线性无关，于是dimV=s≤t=dimV12等号成立当且仅当A和B等价，即V=V12例4：显然，向量组E：e，e，…，e

9、12n为Rn的一组基。例4：显然，向量组E：e，e，…，e12n为Rn的一组基。例5：令α=(1，0，…，0)T，1α=(*，1，…，0)T，2…………α=(*，*，…，1)T。n则向量组A：α，α，…，α与向量组12nE等价，因此也是Rn的一组基。例6：设V=L(α，α，α)，求一组基。123其中α=(1，1，0)T，1α=(2，1，2)T，2α=(1，2，-2)T。3解：即求最大无关组。三、向量的坐标设A：α，α，…，α为线性子空间V12s的一组基，则对任何α∈V，存在唯一的x，x，…，x∈R；使得12sα=xα+xα

10、+…+xα，1122ss称(x，x，…，x)T为α在A下的坐标。12s坐标和方程组的关系注意：定义中可以写成如下形式Ax=α，(**)其中，x=(x，x，…，x)T。12s因此，求向量α在A下的坐标就等价于求解线性方程组(**)。四、两组基之间关系设A：α，α，…，α为空间V的一组基，12sB：β，β，