线性子空间的和与直和.ppt

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1、§2线性子空间的和与直和线性子空间的和线性子空间的和的维数公式线性子空间的和的基的求法线性子空间的直和7/28/20211线性空间与欧几里得空间线性子空间的和两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间的并集一般不是线性子空间。则集合也是一个线性子空间，proof7/28/20212线性空间与欧几里得空间线性子空间的和(2)从线性子空间的和的定义很容易看出：(3)多个子空间的和：7/28/20213线性空间与欧几里得空间线性子空间的和的维数以上4个线性子空间都是2维的7/28/20214线性空间与欧几里得空间线性子空间的和的维数(理论结果)引理2.3:　线性子空间中的线性无关的向量组可以

2、被扩充成该子空间的一组基。proofproofproof7/28/20215线性空间与欧几里得空间线性子空间的和的求法：例子主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组7/28/20216线性空间与欧几里得空间线性子空间的和的求法：例子基础解系:7/28/20217线性空间与欧几里得空间线性子空间的直和:定义下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和.必要性是显然的,下证充分性.7/28/20218线性空间与欧几里得空间线性子空间的直和，补子空间proofproof7/28/20219线性空间与欧几里得空间多个线性子空间的直和proof7/28/202110线性空间与欧几里得空间命

3、题2.1的证明所以W是线性子空间。back证明：7/28/202111线性空间与欧几里得空间命题2.2的证明证明:由定义,有back7/28/202112线性空间与欧几里得空间引理２.３的证明如果这个向量组不是W的基,则用同样的方法扩充线性无关的向量组,　直到不能扩充为止．最后得到W的一组基.back引理2.3:　线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基。证明:7/28/202113线性空间与欧几里得空间定理2.4的证明证明:注意到只要证明线性无关7/28/202114线性空间与欧几里得空间定理2.4的证明(2)设有所以即有back7/28/202115线性空间与欧几里得空

4、间定理2.6的证明证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。下面证明(1)与(2)的等价性。back7/28/202116线性空间与欧几里得空间定理2.7的证明由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时，它的补子空间是不唯一的。back7/28/202117线性空间与欧几里得空间命题2.8的证明证明:7/28/202118线性空间与欧几里得空间命题2.8的证明(2)=0所以7/28/202119线性空间与欧几里得空间命题2.8的证明(3)其中则有于是={0}所以back7/28/202120线性空间与欧几里得空间