《子空间的直和》PPT课件.ppt

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1、§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和第六章线性空间§6.7子空间的直和§6.7子空间的直和一、直和的定义二、直和的判定三、多个子空间的直和§6.7子空间的直和引入有两种情形:由维数公式设  为线性空间V的两个子空间,此时即,   必含非零向量.§6.7子空间的直和情形2)是子空间的和的一种特殊情况直和此时不含非零向量,即§6.7子空间的直和一、直和的定义设  为线性空间V的两个子空间,若和是唯一的,和   就称为直和(directsum),

2、注意若有则1.分解式     唯一的,意即中每个向量 的分解式记作§6.7子空间的直和2.分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如,R3的子空间这里,在和   中,向量的分解式不唯一.所以和   不是直和,而在和   中,向量的分解式是唯一的,是直和.§6.7子空间的直和二、直和的判定分解式唯一,1、(定理8)和   是直和的充要条件是零向量,则必有证:必要性.是直和,而0有分解式即若§6.7子空间的直和充分性.故   是直和.有其中于是由零向量分解成唯一,即的分解式唯一.§6.7子空间的直和2、和   是直和则有即是直和.证:“  ”若

3、§6.7子空间的直和“”由于   是直和,零向量分解式唯一,故任取§6.7子空间的直和证:由维数公式3、和   是直和有,是直和.(由2、得之)§6.7子空间的直和总之,设   为线性空间V的子空间,则下面四个条件等价:(2)零向量分解式唯一(1)   是直和(3)(4)§6.7子空间的直和4、(定理10)设U是线性空间V的一个子空间,为U的一个余子空间(complementarysubspace).则必存在一个子空间W,使称这样的W证:取U的一组基把它扩充为V的一组基则§6.7子空间的直和余子空间一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).注意如,在R

4、3中,设则但§6.7子空间的直和5、设分别是线性子空间的一组基,则是直和线性无关.证:由题设,§6.7子空间的直和若          线性无关,则它是的一组基.从而有“  ”是直和.§6.7子空间的直和若 直和,则从而          的秩为r+s.所以          线性无关.“”§6.7子空间的直和1、定义中每个向量 的分解式三、多个子空间的直和都是线性空间V的子空间,若和是唯一的,则和   就称为直和,记作§6.7子空间的直和四个条件等价:(2)零向量分解式唯一,即(3)(4)2、判定设     都是线性空间V的子空间,则下面(1) 

5、   是直和§6.7子空间的直和例1每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和.证:设      是n维线性空间V的一组基,则而故得证.§6.7子空间的直和例2已知    ,设(2)当   时,证明:(1)的子空间.是§6.7子空间的直和证:(1)任取有是 的子空间.§6.7子空间的直和又对有从而有故 是 的子空间.§6.7子空间的直和又(2)先证任取其中又   是 的子空间,§6.7子空间的直和任取从而所以再证

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