《子空间的直和》PPT课件.ppt

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1、§2线性空间的定义与简单性质§3维数·基与坐标§4基变换与坐标变换§1集合·映射§5线性子空间§7子空间的直和§8线性空间的同构§6子空间的交与和第六章线性空间§6.7子空间的直和§6.7子空间的直和一、直和的定义二、直和的判定三、多个子空间的直和§6.7子空间的直和引入有两种情形：由维数公式设　　为线性空间V的两个子空间，此时即，　　　必含非零向量.§6.7子空间的直和情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和此时不含非零向量，即§6.7子空间的直和一、直和的定义设　　为线性空间V的两个子空间，若和是唯一的，和　　　就称为直和（directsum），

2、注意若有则1.分解式　　　　　唯一的，意即中每个向量　的分解式记作§6.7子空间的直和2.分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如，R3的子空间这里，在和　　　中，向量的分解式不唯一.所以和　　　不是直和，而在和　　　中，向量的分解式是唯一的，是直和.§6.7子空间的直和二、直和的判定分解式唯一，1、(定理8)和　　　是直和的充要条件是零向量，则必有证：必要性.是直和,而0有分解式即若§6.7子空间的直和充分性.故　　　是直和.有其中于是由零向量分解成唯一，即的分解式唯一.§6.7子空间的直和2、和　　　是直和则有即是直和.证：“　　”若

3、§6.7子空间的直和“”由于　　　是直和，零向量分解式唯一，故任取§6.7子空间的直和证：由维数公式3、和　　　是直和有，是直和.（由2、得之）§6.7子空间的直和总之，设　　　为线性空间V的子空间，则下面四个条件等价:（2）零向量分解式唯一（1）　　　是直和（3）（4）§6.7子空间的直和4、(定理10)设U是线性空间V的一个子空间，为U的一个余子空间（complementarysubspace）.则必存在一个子空间W，使称这样的W证：取U的一组基把它扩充为V的一组基则§6.7子空间的直和余子空间一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).注意如，在R

4、3中，设则但§6.7子空间的直和5、设分别是线性子空间的一组基，则是直和线性无关.证：由题设，§6.7子空间的直和若　　　　　　　　　　线性无关，则它是的一组基.从而有“　　”是直和.§6.7子空间的直和若　直和，则从而　　　　　　　　　　的秩为r＋s.所以　　　　　　　　　　线性无关.“”§6.7子空间的直和1、定义中每个向量　的分解式三、多个子空间的直和都是线性空间V的子空间，若和是唯一的，则和　　　就称为直和，记作§6.7子空间的直和四个条件等价:（2）零向量分解式唯一，即（3）（4）2、判定设　　　　　都是线性空间V的子空间，则下面（1）　

5、　　　是直和§6.7子空间的直和例1每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和.证：设　　　　　　是n维线性空间V的一组基,则而故得证.§6.7子空间的直和例2已知　　　　，设（2）当　　　时，证明：（1）的子空间.是§6.7子空间的直和证：（1）任取有是　的子空间.§6.7子空间的直和又对有从而有故　是　的子空间.§6.7子空间的直和又（2）先证任取其中又　　　是　的子空间，§6.7子空间的直和任取从而所以再证