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时间:2018-10-11
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1、5.5子空间的和与直和授课题目:子空间的和与直和.教学目标:1.理解并掌握子空间的概念.2.掌握子空间的判别方法,熟悉几种常见的子空间.3.掌握子空间的交与和的概念.授课时数:3学时教学重点:子空间的判别.教学难点:子空间的交与和.教学过程:一子空间的的和回忆:令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W对于V的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的,那么就称W是V的一个子空间.一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。V的非平凡子空间叫做V的真子空间。1.定义:设,则称的子集为即=定理5.5.1
2、:若均为的两个子空间,则仍然是子空间.证明:故对均为子空间.于是是的子空间。推广:仍然是的子空间.补充:若=L,则=L证明:,有,设+=L定理5.5.2维数定理。dim()=dim证明:设取的一个基为因为同是的子空间,所以可以分别扩充成与的基(2)(3)这里下面证明(4)是的基.显然,中每个向量都可以由(4)线性表示,只需证明(4)线性无关.设则于是在F中存在使得即由于是的基,所以于是由于是的基,所以这样(4)线性无关,从而(4)是的基.从而对于时,仿照上面的证明,把和的基拼起来就是和的基.推论:①d
3、im()dim②当且仅当={0}时=dim③dim>n,则例1:设有向量组令,求的维数和一组基解:由于==L故的维数就是向量的秩,而这个向量组的极大无关组也是的基。将为列作矩阵施行初等行变换:由于秩(A)=秩(B)=3,且由B知,第2,3,4列线性无关,故便是的一个基。(杨子胥—下册—154)例2:求和的基和维数解:给出P的一组基:而=A其中A=定义2设是线性空间V的两个子空间,如果①②定理5.5.3.当是直和则且分解成是唯一的证:“必要性”,若有则且,从而同理“充分性”(只须证),则,又,,由表示法
4、唯一,故,即故定理5.5.4.若,则下列命题彼此等价①②③的一个基与的一个基,并起来是的一个基证:运用循回证法①②由知由维数定理,得②③分别是,那么,由于于是,为的基。③①设分别为与的基,有是的基,对有且令即线性无关故,又故三.余子空间的确定⑴.是n维向量空间的一个子空间,且,则存在余子空间使证:设是的一个基,则且,将扩充为的一个基,使作,于是,而故是的余子空间,例:已知,,求的余子空间使。解:以为列作矩阵,对施行初等变换显然线性无关,设,故为所求。⑵是n维线性空间的子空间,则的余子空间不唯一。证:(
5、另外找出的余子空间)设是的一个基,将其扩充为的一个基于是为的余子空间。又也是的一个基。设是基数线性无关于是亦为之余子空间。(证,与中有一个向量不相同),若,则故线性相关与线性无关相矛盾。(3).子空间的直和可以推广到多个子空间的情形.设是线性空间的子空间,如果①②则称是的直和,记为例.设为数域,给出的两个子空间为。证明:证明:法一:另知,,,因而由于因而,故
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