子空间和与直和

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1、5.5子空间的和与直和授课题目：子空间的和与直和.教学目标：1．理解并掌握子空间的概念.2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间.3．掌握子空间的交与和的概念.授课时数：3学时教学重点：子空间的判别.教学难点：子空间的交与和．教学过程：一子空间的的和回忆:令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W对于V的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W是V的一个子空间.一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。V的非平凡子空间叫做V的真子空间。1.定义：设，则称的子集为即=定理5.5.1

2、：若均为的两个子空间，则仍然是子空间.证明：故对均为子空间.于是是的子空间。推广：仍然是的子空间.补充：若=L，则=L证明：，有，设+=L定理5.5.2维数定理。dim()=dim证明:设取的一个基为因为同是的子空间,所以可以分别扩充成与的基(2)(3)这里下面证明(4)是的基.显然,中每个向量都可以由(4)线性表示,只需证明(4)线性无关.设则于是在F中存在使得即由于是的基,所以于是由于是的基,所以这样(4)线性无关,从而(4)是的基.从而对于时,仿照上面的证明,把和的基拼起来就是和的基.推论：①d

3、im()dim②当且仅当={0}时=dim③dim＞n,则例1：设有向量组令，求的维数和一组基解：由于==L故的维数就是向量的秩，而这个向量组的极大无关组也是的基。将为列作矩阵施行初等行变换：由于秩（A）=秩（B）=3，且由B知，第2，3，4列线性无关，故便是的一个基。（杨子胥—下册—154）例2：求和的基和维数解：给出P的一组基：而=A其中A=定义2设是线性空间V的两个子空间，如果①②定理5.5.3.当是直和则且分解成是唯一的证：“必要性”，若有则且，从而同理“充分性”（只须证），则，又，，由表示法

4、唯一，故，即故定理5.5.4.若，则下列命题彼此等价①②③的一个基与的一个基，并起来是的一个基证：运用循回证法①②由知由维数定理，得②③分别是，那么，由于于是，为的基。③①设分别为与的基，有是的基，对有且令即线性无关故，又故三.余子空间的确定⑴.是n维向量空间的一个子空间，且，则存在余子空间使证：设是的一个基，则且，将扩充为的一个基，使作，于是，而故是的余子空间，例：已知，，求的余子空间使。解：以为列作矩阵，对施行初等变换显然线性无关，设，故为所求。⑵是n维线性空间的子空间，则的余子空间不唯一。证：（

5、另外找出的余子空间）设是的一个基，将其扩充为的一个基于是为的余子空间。又也是的一个基。设是基数线性无关于是亦为之余子空间。（证，与中有一个向量不相同），若，则故线性相关与线性无关相矛盾。（3）.子空间的直和可以推广到多个子空间的情形.设是线性空间的子空间，如果①②则称是的直和，记为例.设为数域，给出的两个子空间为。证明：证明：法一：另知，，，因而由于因而，故