资源描述：
《维数公式与子空间直和的等价条件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、4第期长沙大学学报∋∃!年∀月#∃%4!&∋()∃∗+玲创,−.(%∋/01&−/23#56维数公式与子空间直和的等价条件矛卜宗明李振国梅门昌7泰安师专泰安8999:7河套大学临河9;999:7泰安教育学院泰安8999:摘要论述了维数公式与线性空间的子空间直和的等价条件关键词维数公式等价条件子空间直和线性空间分类号9;,本文讨论维数公式的一般形式与子空间直和的若干等价条件线性空向的基本理论被认为是熟知的4=,=,定理设<<是线性空间0的子空间则=ΒΧ二>?=Β=一ΔΧ>?≅7ΑΑ:≅<>?≅<>?≅7
2、Α门Α:证明当<ΕΦΓ9Η或<Χ二Ι9Η时,显然成立4下设<=共9Η,且<=护叫,记=,4>?≅Φϑ>?≅ΧΦΚ<Α:设<,门<Χ二Γ9Η4取<Δ的一个基月,⋯,戊,<Χ的一个基ΛΔ,⋯,Λ=,从而,Ε,,,,==,,,,,=4,=,十=Φ)7月⋯风:十)7Λ=⋯Λ:Φ)7月⋯尽ΛΕ⋯Λ:又<<易证月,,,,=,,Ε,,,,,,,4⋯==⋯Λ夕⋯风ΛΕ⋯Λ十=因此公式成几线性无关所以为<Α的一个基立4:设Α=门<=半川,记>?≅7<,6<Χ:二=4取Α/门ΑΧ的一个基Μ4=,一,ΜΛ,=,,,,,,,,,Λ,,,
3、‘4,ΜΔ。十,⋯ΧΝΔ⋯Μ=ΛΒ,Λ扩充得<的一个基⋯尽尽Α的一个基⋯同:可证。=,⋯,ΜΛ,尽十=,⋯,几,Λ十=⋯,Λ=是<,十<=的一个基4因此公式成立4证完4Ε,,。,定理设<⋯<是线性空间Ο的有限维子空间则‘Φ一>?≅7习Α:习>‘≅礁习>‘≅7砚6习砚:止二‘二ΕΠ二证明对于子空间的个数≅7::作数学归纳法4当≅Φ时,由定理知,结论成立4,设≅ΦΘ时结论成立即>‘≅7砚:Φ>‘≅做一>‘≅7
4、<ΑΘΒ,并用已证的扭二防的结论及时纳假设得=,一间Φ>ΒΒ,>?≅名可‘≅7习礁矶:一ΒΒ=一十Δ‘>‘≅7习俄:>‘≅风>‘≅7爪6习Α:Σ=?Σ4‘),#4Β十Τ>‘≅砚一>?≅7<门Π=云少Α、产,4Β>?≅=一>‘≅7=门:习习冲Α介矶叭习砚Φ>?≅袱一>‘≅7砒门名习所以,≅二ΘΒ时结论也成立4根据数学归纳法原理,对于任意的自然数≅结论成立4证完4,,,川,=定理Ρ设<⋯<是线性空间Ο的子空间则下列六条相互等价‘,。。口,十Μ二。‘:ΑΦ<是直和即<的任意向量的分解式一⋯十7Υ礁:唯习:Μ。Δ某
5、一向量的分解式唯一Ρ:零向量的分解式唯一Δ=,,用,,,=,,‘,ϑΒΚΦ≅,ϑς:将Α⋯<任意分为两组砚⋯Α4与砚⋯现簇《≅,一均有,二Β,,,=7砚Α:门7巩Β⋯Β:ΦΓ9ΗΔΒ4<Π,,,、!Φ?Φ??Σ9Η4“’,砒砚门习消习
6、1&任取。任/2‘,∗∗‘,0∗⋯∗0,⋯2&门/巩2∀&。#.‘,∗⋯∗.、,#.3,∗⋯∗马0,.,0任0,⋯,.‘00,则砚任230’0,#.‘,∗∗.‘一,一“一.,从而)⋯.3·0·0%价∃#4#久#一.,0#4二一.3#)由(&得所以,.二),1&成立%5&)6&%由总第=Ρ∀期孙宗明等维数公式与子空间直和的等价条件庄一名砚Ω习Α?Π,ΕΠ禅Ξ‘一,俄门风Ω现Ψ
7、:⋯7风:用一所以Μ。一月。‘<。门习4砚Π二。,一,口。4。一,一,,,4=4,ΦΖΦ。二⋯口二。=二于是由∀:得凡风同理可证凡夕从而月,,4Μ分解式唯一即:成立因此,定理全部得证4证完4,,,阴,定理ς设<⋯Α是线性空间Ο的有限维子空间则定理Ρ中的六条与下列二,=条八条相互等价Φ,ΒΒ阴Δ8:>?≅<>?≅<⋯>?≅?≅
8、砚且不妨设−[9取<的一个基Μ‘ϑ‘?Φ⋯≅,易知ΜΑ的任一向量可由,4‘一‘’,一Μ;一Μ价?Μ祝−≅ϑ,十;4,⋯十4由8:知<的维数为=,Β⋯十=这个向量线性表示所以,4“4,,“,ΜΜ?;一Μ祝?Μ,−,线性无关,从而为Α的一个基4所以,!:成立44,,,,,,4,,Μ
